受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

円周角の定理の証明の仕方
円周角の定理は

一つの弧に対する円周角の大きさは中心角の大きさの半分になる。

を証明します。

一つの弧に対する中心角の大きさは一定で、その円周角は中心角の半分なので、一つの弧に対するどんな円周角も等しいって言う形でよく使います。

はむはむ。


まず使うことは
090221_m1.jpg
三角形の外角は、それととなり合わない2つの内角の和に等しい。



二等辺三角形の2つの定角は等しい。

を使います。


はむはむ。



090221_m2.jpg

図の上の方のような弧ABに対する円周角と中心角を考えて、円周角の頂点から中心へ線を引くと半径になってるとこが三つ出来て二等辺三角形が二つできます。

その二つの二等辺三角形の底角を○と×とすると、

(円周角)=○+×

です。

中心角は二つの二等辺三角形の底角ではない角の外角を合体させたものになってるから

(中心角)=2○+2×
=2×(円周角)

で円周角は中心角の半分になりました。

はむはむ。


図の下の方の場合は半径になってるとこは長さが等しいから二等辺三角形が一つ出来て

(円周角)=○とすると

円周角は二等三角形の底角になってますが、中心角はちょうど底角ではない外角になってるから
(中心角)=2○
=2×(円周角)

で円周角は中心の半分になりました。

はむはむ。


090221_m3.jpg

最後の形はちょっとややこしいですが、まず円周角の頂点から中心へ線を引いておきます。
すると半径になってるとこは長さが等しいから二等三角形が二つ出来て、その底角が大きいほうを○、小さい方を×とすると

円周角はその差

(円周角)=○-×

にちょうどなってます。


それで中心角も
底角が大きい方の二等辺三角形の底角でない方の角の外角は
2○
で底角が小さい方の二等辺三角形の底角でない方の角の外角は

で中心角はこの差になってるから
(中心角)=2○-2×
=2×(円周角)

これで円周角は中心角の半分って示せました。

はむはむ。


実際には一回証明を見たら、それは忘れて結果だけ覚えて使うことになります。

はむはむ。

だからそれはなんやねん。

中学数学の公式や問題の解説




テーマ:算数・数学の学習 - ジャンル:学校・教育

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