受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

領域の面積の問題、東京大学2007年度文系第一問の解説
今、もの凄い速さで何もない。

東京大学2007年度文系第一問の領域の面積の問題をやります。



[問題]
090221_m4.jpg
第1問
連立不等式
y(y-|x^2-5|+4)≦0,y+x^2-2x-3≦0
の表す領域をDとする。
(1)Dを図示せよ。
(2)Dの面積を求めよ。



[解答と解説]
(1)
090221_m5.jpg
結構ややこしいDを正確に書けるかどうかですが、ややこしい問題では絶対値が入ってると正の時と負の時で丁寧に分けたほうが良いことが多いです。

一度にやろうとすると、うへ~ってわけわからんことなって消しゴムで消しまくってるうちにびりー!なって何もかも終わります。


f(x)=|x^2-5|-4
g(x)=-x^2+2x+3
とおいて、グラフを書いてまうとすっきりしてええかな。

f(x)=
x^2-9(x≦-√5,√5≦x)
-x^2+1(-√5≦x≦√5)

まずy=0つまりx軸との共有点を調べてみます。


f(x)=0とすると
x≦-√5,√5≦xの時
x^2-9=0
から
x=±3
でこれはちゃんと範囲内になってるからオッケーです。

-√5≦x≦√5の時
-x^2+1=0
から
x=±1
でこれもちゃんと範囲内になってるからオッケーです。

g(x)=0

-x^2+2x+3=0⇔(x-3)(x+1)=0
からx=3,-1


今度はy=f(x)とy=g(x)の共有点を調べます
x≦-√5,√5≦xの時、
x^2-9=-x^2+2x+3
⇔(x-3)(x+2)=0
⇔x=3,-2
ですがx≦-√5,√5≦xを満たすのはx=3だけです。


-√5≦x≦√5の時
-x^2+1=-x^2+2x+3
⇔x=-1
でこれは-√5≦x≦√5を満たしてるからオッケーです。

以上を踏まえて
y(y-f(x))≦0
y-g(x)≦0
を図示すると

090221_m6.jpg

図の斜線部になります。
境界を含む。

丁寧に場合わけしてグラフの交点を求めていって書けば、出来ると思います。


(2)
090221_m7.jpg
積分の値を求めるには三つの区間に分けて計算します。

まず左の山は

∫(-1,1)(-x^2+1)dx
です。
これは
∫(α,β)(x-α)(x-β)dx=-(β-α)^3/6
のすぐに求まる形で

∫(-1,1)(-x^2+1)dx
=-∫(-1,1)(x-1)(x+1)dx
=8/6
=4/3

この右側のy軸の下側に出てる部分の面積は関数がx=√5で変わるから二つに分けて

∫(1,√5)-(-x^2+1)dx+∫(√5,3)-(x^2-9)dx
=[x^3/3-x](1,√5)+[-x^3/3+9x](√5,3)
=(5√5)/3-√5+1-9+27+(5√5)/3-9√5
=56/3-(20√5)/3

はい、何の工夫もない計算ですね。

まあ工夫してみたら反対にめちゃくちゃなことになったからな。


と言うことで求める値は

4/3+56/3-(20√5)/3
=20-(20√5)/3

高校数学の入試問題などの解説

東京大学の入試の数学の過去問の解説




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