受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

平面図形の問題、東京大学文系2007年度第2問の解説
ばふばふ。

東京大学2007年度文系第2問、平面図形の問題いくばふばふ。


[問題]
090222_m1.jpg
090222_m2.jpg

rは0<r<1をみたす実数、nは2以上の整数とする。平面上に与えられた1つの円を、次の条件①,②をみたす2つの円で置き換える操作(P)を考える。
①新しい2つの円の半径の比はr:1-rで、半径の和はもとの円の半径に等しい。
②新しい2つの円は互いに外接し、もとの円に内接する。
以下のようにして、平面上に2^n個の円を作る。
・最初に、平面上に半径1の円を描く。
・次に、この円に対して操作(P)を行い、2つの円を得る(これを1回目の操作という)。
・k回目の操作で得られた2^k個の円のそれぞれについて、操作(P)を行い、2^(k+1)個の円を得る(1≦k≦n-1)
(1)n回目の操作で得られる2^n個の円の周の長さの和を求めよ。
(2)2回目の操作で得られる4つの円の面積の和を求めよ。
(3)n回目の操作で得られる2^n個の円の面積の和を求めよ。


[解答と解説]
(1)
090222_m3.jpg

まず具体的1回目、2回目ってやってみるのがコツです。
特に東大はそういう感じです。

そういう感じです。


ところが最初の半径1の円の円周は2πで、(P)1回目で半径1の円のが半径rの円と半径1-rの円になりますが、円周の和は

2πr+2π(1-r)=2π

でそのままなことがわかります。


と言うことはもっと一般的に半径aの円の円周は2πaで、(P)を行うと半径arの円と半径a(1-r)の円になって円周の和は

2πar+2πa(1-r)=2πa

ってどんな半径でも(P)を行っても円周の長さは一定のままやから、結局n操作しても円周の長さの和は最初の円の半径2πのままってわかるわけなんですわ。
090222_m4.jpg

(2)これは具体的に2回目を求めろって問題やな。
1回目、2回目を具体的にやってみろ毎回書いてますが、これは親切に誘導されてます。

まず1回目で半径の比がr倍と1-r倍の円になるから、面積はr^2倍でπr^2の円と(1-r)^2倍でπ(1-r)^2の円になります。

だから1回目で面積は
πr^2+π(1-r)^2=π{r^2+(1-r)^2}
になります。

2回目は

面積がπr^2の方の円はπr^2・r^2とπr^2・(1-r)^2の円

面積がπ(1-r)^2の方の円はπ(1-r)^2r^2の円とπ(1-r)^2・(1-r)^2の円になります。

よって2回目の面積は

πr^2・r^2とπr^2・(1-r)^2
+π(1-r)^2r^2+π(1-r)^2・(1-r)^2
=πr^2(r^2+(1-r)^2)+π(1-r)^2(r^2+(1-r)^2)
=π(r^2+(1-r)^2)^2
=π(2r^2-2r+1)^2

これから、(P)を一回行うと面積は(r^2+(1-r)^2)倍になることがわかります。


(3)
090222_m5.jpg

面積Sの円に(P)を行うと面積の和は

Sr^2+S(1-r)^2=S(r^2+(1-r)^2)

より(r^2+(1-r)^2)倍になります。


だからn回の操作では最初の円の面積πの(r^2+(1-r)^2)^n倍になります。

π(r^2+(1-r)^2)^n

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