受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

a>0,b>0⇔a+b>0かつab>0。そしたらa>0,b>0,c>0は?
今回は、質問受けた疑問で


a>0,b>0⇔a+b>0,ab>0

って言う関係がありますが

a>0,b>0,c>0

にはそのような関係はありますか?うへ~。


そんな文じゃなかったような。

それでそのまま拡張して

a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0

はどうなんやろって考えたらしいねんけど、これでオッケーです。


と言うことで今日は、

a>0,b>0,c>0

a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0

を証明します。

090224_m1.jpg

まず

a>0,b>0,c>0

a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0
は当たり前です。


問題は

a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0

a>0,b>0,c>0

の方です。

こういう示しにくい証明は背理法を使うと意外と簡単に行きます。

a≦0またはb≦0またはc≦0と仮定して矛盾を示すわけですが、対称性からc≦0と仮定した場合だけ考えたらよくなります。

(i)c=0の時
abc=0ってなってまうから、そっこう矛盾。

(ii)c<0の時
a+b+c>0

a+b>-c

abc>0

ab<0

ってことがわかります。

それで
ab+bc+ca=ab+c(a+b)

だから
a+b>-c

c(a+b)<-c^2<0

とab<0から

ab+bc+ca=ab+c(a+b)<0

で矛盾。


と言うことで

a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0

a>0,b>0,c>0

もオッケーで題意は成立しました。


それで

090224_m2.jpg


ところで二次関数

f(x)=(x-a)(x-b)
=x^2-(a+b)x+ab

を考えてy=f(x)がx軸と正の部分でのみ交わる条件は

f(0)>0
軸(a+b)/2>0



ab>0
a+b>0

と言うように

a>0かつb>0⇔a+b>0,ab>0

は二次関数f(x)=(x-a)(x-b)がx軸と正の部分とだけ交わる条件を考えても結局同じに条件になってました。


と考えるとx軸とx=a,b,cで交わる三次関数

f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)
=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc

がx軸の正の部分のみで交わる条件を考えてもオッケーなはずです。

それはグラフの図から考えると
f'(x)=0の解をα,β(α≦β)とすると

f(0)<0
α>0

のはずです。

090224_m3.jpg

計算していくと

f(0)=-abcから
abc>0

f'(x)=3x^2-2(a+b+c)x+ab+bc+ca

f'(x)=0とすると

x={(a+b+c)±√((a+b+c)^2-3(ab+bc+ca))}/3

だから

α={(a+b+c)-√((a+b+c)^2-3(ab+bc+ca))}/3



α>0

(a+b+c)>√((a+b+c)^2-3(ab+bc+ca))

a+b+c>0
かつ
(a+b+c)^2>(a+b+c)^2-3(ab+bc+ca)

a+b+c>0
かつ
ab+bc+ca>0


これは
(a+b+c)>√((a+b+c)^2-3(ab+bc+ca))

a+b+c>0
かつ
(a+b+c)^2>(a+b+c)^2-3(ab+bc+ca)

のとこを気をつけてください。

無理方程式とか絶対値の時みたいに

√A=B

B≧0
かつ
A=B^2

と同様に考えて

B>√A

B>0
かつ
B^2>A

となります。

0≧Bなら
0≧B>√A
ってなって√の値はマイナスになって矛盾しますやろ。

なんか、どこの商売人のおっさんやねんみたな言い方になってるけどな。


まあだからこうやって
三次関数f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)がx軸の正の部分とだけ交わるって条件でも

a+b+c>0
ab+bc+ca>0
abc>0

と結局同じなるってことでした。


こうやって色々な解法を体験することで、話しが繋がってきて理解が深まったり、何か悟ったりします。

高校数学の公式や問題の解説




テーマ:算数・数学の学習 - ジャンル:学校・教育

▲ページトップへ
この記事に対するトラックバック
トラックバックURL
→http://kazuschool.blog94.fc2.com/tb.php/216-42343f59
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
▲ページトップへ
プロフィール

わんこら

Author:わんこら
京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。
東京で数学と物理の講師やってます

わんこら日記で日記とか勉強の仕方とか書いています

わんこら式数学の勉強法

メール
迷惑メールにされる危険性があるので出来るだけ
kazuyuki_ht○guitar.ocn.ne.jp
(○を@にしてください)に送ってください
勉強とかでどんな悩み持ってるかなど色々と教えてくれると嬉しいです。
わんこら式のやり方についてのメールはわんこら式診断プログラムを参考にしてください

詳しいプロフィール

人気blogランキングへ



にほんブログ村 受験ブログへ



学生広場

相互リンクも募集してます。

何かあれば
kazuschool_ht★yahoo.co.jp
かメールフォームからメールください。
(★を@にしてください)

カテゴリー

メールフォーム

名前:
メール:
件名:
本文:

FC2カウンター

リンク

このブログをリンクに追加する

お勧めの参考書、ノート

数学でお勧めのノートは
KOKUYOの無地
理由




センター試験は過去問が大切


チャートが終わったらお勧め
大学への数学1対1シリーズ
数学1


数学A


数学2


数学B


数学3


数学C

月別アーカイブ

ブログ内検索

RSSフィード

最近のトラックバック

ブロとも申請フォーム

この人とブロともになる

  1. 無料アクセス解析