受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

整数問題、東京大学2007年度文系の第3問の解説
ちょっとパープルよしろう呼んできて。

東京大学2007年度文系第3問の整数問題を解説します。


[問題]
090224_m7.jpg
正の整数の下2桁とは、100の位以上を無視した数をいう。たとえば2000,12345の下2桁はそれぞれ0,45である。mが正の整数全体を動くとき、5m^4の下2桁として現れる数をすべて求めよ。



[解答と解説]
090224_m8.jpg
まずm=1,2,3,…で具体的にやってみます。

すると
m=1は下2桁は05
m=2は80
m=3は05
m=4は80

なんか奇数は05と偶数は80と思わせといて

m=5は25
m=6は80
m=7は05
m=8は80
m=9は05
m=10は00

とm=5は25でm=10は00です。

たぶん10が周期なんじゃないかと予想します。


そしてこういう下何桁とかを考える問題では10で割った余りとかを考えて二項定理で展開するのが定石でした。

そもそも下2桁は100で割った余りのことやしな。

だから
kを0以上の整数
nを0≦n≦9を満たす整数として
m=10k+n
と表せて(n,k)≠(0,0)

5m^4=5(10k+n)^4
=5k^4・10^4+20k^3・n・10^3+30k^2・n^2・10^2+2kn^3・10^2+5n^4

だから100で割った余りは結局5n^4を100で割った余りと同じになるわけや。

ところが
0≦n≦9
やから、これはすでにさっきの試行で求めてしまってるから

00,05,25,80の4つって答えが出てまいました。


これをちゃんとした解答にしていくと

090224_m9.jpg

k:0以上の整数
n:0≦n≦9の整数
として
m=10k+nとおける((k,n)≠(0,0))
5m^4=5(10k+n)^4
=5k^4・10^4+20k^3・n・10^3+30k^2・n^2・10^2+20kn^3・10+5n^4
=10^2・(5k^4・10^2+20k^3・n・10+30k^2・n^2+2kn^3)+5n^4

したがって5m^4の下2桁=5n^4の下2桁

n 下2桁
n=0 00
n=1 05
n=2 80
n=3 05
n=4 80
n=5 25
n=6 80
n=7 05
n=8 80
n=9 05

よって、00,05,25,80の4つ。

高校数学の入試問題などの解説

東京大学の入試の数学の過去問の解説

整数問題の解法の解説と問題演習




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