受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

放物線と接線も囲まれた面積の最小値、東京工業大学2009年度第1問の解説
東工大を受ける受験生からそっこう問題をもらいました。


[問題]
[1](60点)
toukou20091.jpg

点Pから放物線y=x^2/2へ2本の接線が引けるとき、2つの接点をA、Bとし、線分PA、PBおよびこの放物線で囲まれる図形の面積をSとする。PA、PBが直交するときのSの最小値を求めよ。

[解答と解説]
090225_m05.jpg
色々なやり方あると思いますが点Pから放物線引くというよりは、点A(a,a^2/2),点B(b,b^2/2)の接線を求めて交点が点Pと考えてやりました。

ここでSの最小値を求めるにはa<bで考えたら十分です。

こういう設定が意外と解きやすくなるポイントやから、頭の片隅に入れてやってください。

そして二次関数の微分は(x^2/2)'=xより点Aにおける接線l_Aは

l_A:y=a(x-a)+a^2/2
=ax-a^2/2

同様に点Bにおける接線l_Bは

l_B:y=bx-b^2/2

でy消去して交点Pのx座標を求めると
ax-a^2/2=bx-b^2/2

(a-b)(x-(a=b)/2)=0

a<bとしてるからa-bで割れます。

x=(a+b)/2

面白ことに中点ですね。


それでPAとPBは直交するから2直線の傾きの掛け算が-1です。
ab=-1

090225_m06.jpg

後は積分するわけですが、

y=x^2/2とl_Aはx=aで接していてx^2の係数は1/2だから

x^2/2-(ax-a^2/2)
=1/2・(x-a)^2

になることに注意してください。

l_Bも同様に1/2・(x-b)^2になります。

これはほんまよく使うし、親指が剥離骨折する確率が減ります。


と言うことで

S=∫(a,(a+b)/2)1/2・(x-a)^2dx+∫((a+b)/2,b)1/2・(x-b)^2dx
=[(x-a)^2/6](a,(a+b)/2)+[(x-b)^3/6]((a+b)/2,b)
=1/3・((b-a)/2)^3

になります。

ここでab=-1だったからa=-1/bで、文字を消去する時はa<bにも代入してbの範囲にしておいて
-1/b<b
両辺にb^2>0をかけて
-b<b^3
b(b^2+1)>0
b^2+1>0より
b>0
です。

だから相加平均相乗平均の形になってるから使って

S=1/3・((b+1/b)/2)^3
≧1/3√(b・1/b)^3=1/3

で等号成立はb=1/b⇔b=1(b>0だから)

したがって、a=-1.b=1の時にSは最小値1/3をとることがわかります。


こうやってかなり、a<bの設定が効いてきてるところをよく見てください。

b<aの時はa<bの時と話しが同じだからa<bの時だけ考えたら答えを出すのには十分な条件になってるわけやな。

それでこの設定が解くのにかなり有効に働くねん。

東京工業大学の入試の数学の過去問の解説

高校数学の入試問題などの解説




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