受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

一次変換の問題、東京工業大学2009年度の第二問の解説
そしたら東京工業大学の2009年度第2問の一次変換の問題を解説してしばれかれるわ。


[問題]
[2](60点)
toukou20092.jpg

実数aに対し、次の1次変換
f(x,y)=(ax+(a-2)y,(a-2)x+ay)
を考える。以下の2条件をみたす直線Lが存在するようなaを求めよ。
(1)Lは(0,1)を通る。
(2)点QがL上にあれば、そのfによる像f(Q)もL上にある。


[解答と解説]
090227_m4.jpg
直線は
ax+by+c=0
が一般的な形ですが、これは使いにくいことも多いと思います。
3変数になってるしな。

だから
y=mx+b
が便利ですが、y軸に平行な直線があらわせないのが難点でした。

と言うことで分けてやってみます。

y軸に平行な直線で(0,1)を通るのはx=0やから、これで分けてみますわ。

(i)L:x=0の時
L上の点Q(0,t)(tは実数)とおけて
f(Q)を(x,y)とすると
(x,y)=f(0,t)
=((a-2)t,at)

で、すべての実数tでf(Q)がまたL上になるにはx=(a-2)tだからa=2の時です。

この時、y=2t
だから直線L上になってオッケーです。


090227_m5.jpg

(ii)L:y=mx+1の時(mは実数)
L上の点Q(t,mt+1)(tは実数)と置けます。
一次変換する時はこうやって、直線を媒介変数で考えておくと便利です。
f(Q)を(x,y)とすると
(x,y)=f(t,mt+1)
=(at+(a-2)(mt+1),(a-2)t+a(mt+1))
だから
x=(a+(a-2)m)t+a-2
y=(a-2+am)t+a

でtを消去してy=mx+1と係数を比較してもいいんですが、これをy=mx+1に代入してそれが全てのtについて成り立つようにした方が計算がすっきりします。
y=mx+1に代入して
(a-2+am)t+a=m(a+(a-2)m)t+a-2

(a-2)(m^2-1)t+(a-2)m-a+1=0

これが全ての実数tに対して成り立つには
(a-2)(m^2-1)=0…①
かつ
(a-2)m-a+1=0…②
です。
①よりa=2とすると②の左辺は-1になり矛盾。
だからa≠2でm=±1になります
m=1の時②に代入すると左辺は-1になり矛盾

m=-1の時②に代入すると-2a+3=0⇔a=3/2
(i)(ii)よりa=2,3/2




tを消去してy=mx+1に代入する方法では x=(a+(a-2)m)t+a-2
y=(a-2+am)t+a

xの方の式でa+(a-2)mで割らないといけないから、これが0の時を調べてみます。
a+(a-2)m=0
とすると
x=a-2
となってy軸に平行な直線になって矛盾するから
a+(a-2)m≠0
です。

これで割れてtを消去すると
y=(a-2+am)/(a+(a-2m))・(x-a+2)+a

って出てきた時点で、鼻血がいつもと違う感じで出てきそうですがそこはティッシュ丸めて入れておさえてください。

冷静にやればすぐに鼻血止まるレベルでこれがLになるには

(a-2+am)/(a+(a-2m))=m

でなければなりません。

これを整理すると

(a-2)(m^2-1)=0

ってかなり簡単な式になります。

a=2の時は
(a-2+am)/(a+(a-2m))はmだからLは

y=m(x-2+2)+2
=mx+2

となって(0,1)を通らないからあかんなこれは。


と言うことでa≠2だから
m^2-1=0⇔m=±1
です。
m=1の時は、Lは
y=(x-a+2)+a
=x+2

でこれも(0,1)を通らないからあかんことになるなこれは。

m=-1の時、Lは
y=-(x-a+2)+a
=-x+2a-2

これが(0,1)を通るには
2a-2=1よりa=3/2です。


結局(i)(ii)あわせてa=2,3/2

東京工業大学の入試の数学の過去問の解説

高校数学の入試問題などの解説




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