受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

整数問題、東京工業大学2009年度の第三問の解説
さて東京工業大学2009年度の解説するか。
でもそれは本当に苦しいこと…

[問題]
[3](60点)
toukou20093.jpg

Nを正の整数とする。2N以下の正の整数m、nからなる組(m、n)で、方程式
x^2-nx+m=0がN以上の実数解をもつようなものは何組あるか。


[解説]
090225_m09.jpg
二次関数の解の配置みたいに考えてもいいですが、単純に解を出して
x=(n±√(n^2-4m))/2
これの大きいほうがN以上になればいいから

N≦(n+√(n^2-4m))/2

とやった方がシンプルかもしれんかな。

ちなみにこの無理不等式を解くと、n^2-4m≧0は満たされている条件を解いてることになります。

N≦(n+√(n^2-4m))/2

2N-n≦√(n^2-4m)

でnは2N以下だから2N-n≧0です。
だから両辺二乗してよくて

(2N-n)^2≦n^2-4m

この時点でちゃんと
0≦(2N-n)^2だから
0≦n^2-4mは成り立っています。

整理すると

N^2-nN+m≦0

これはf(x)=x^2-nx+mとするとf(N)≦0の時ってことになってます。


この解き方ですがNは固定されているのでNの二次関数とみたらあかんねん。

そうやな、だから

m≦nN-N^2

と見るねん。

mは0より大きいから
0<nN-N^2⇔N<n
⇔N+1≦n
が必要です。

mは1以上だからって考えると
1≦nN-N^2
でNで割れなくなるから、あんまり上手くいかんわけやな。

このi,jを整数とすると
i+1≦j⇔i<j
(i+1以上はiより大きいと一緒)
が整数問題でよく使う手法です。

当たり前なのに非常に有効です。


n=N+1の時は
m≦nN-N^2=N
だからmは1~NのN個です。

n=N+2の時は
m≦nN-N^2=2N
でmはそもそも2N以下だから1~2Nのどれでもオッケーで2N個です。

n=N+3の時は
m≦3N
でmはそもそも2N以下だからこれも2N個です。

と言うことは
n=N+k(2≦k≦N)の時はmは2N個あります。

よって(m.n)の組の個数は

N+(N-2+1)2N=2N^2-N個になります。

最初の方に書いた二次関数と考える方法では

090227_m1.jpg

f(x)=x^2-nx+mとおくと軸はx=n/2≦Nだからx軸とy=f(x)がN以上で交わるわるにはf(N)≦0であればよくて
f(N)≦0

N^2-nN+m≦0

こっちの方がやっぱり簡単かなあ。

無理方程式や無理不等式は解くの間違いやすいしな。

東京工業大学の入試の数学の過去問の解説

高校数学の入試問題などの解説

整数問題の解法の解説と問題演習




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