受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

回転体の体積の問題、東京工業大学2009年度第4問の解説
東京工業大学2009年度の第4問、回転体の体積の問題を解説しますうへ~。



[問題]
[4](70点)
toukou20094.jpg

xyz空間の原点と点(1,1,1)を通る直線をlとする。
(1)l上の点(t/3,t/3,t/3)を通りlと垂直な平面が、xy平面と交わってできる直線の方程式を求めよ。
(2)不等式0≦y≦x(1-x)の表すxy平面内の領域をDとする。lを軸としてDを回転させて得られる回転体の体積を求めよ。


[解答と解説]
(1)
090226_m01.jpg
まず数学は図を書かないことには始まらんわけやけど、あんま書いてもわからんかもしれんなこれは。

空間ベクトルになれていたら、むしろ計算だけでいくのが得策ですね。

A(1,1,1),B(t/3.t/3.t/3)って名前をつけておいて
点Bを通り直線lに垂直な平面上の点をP(x,y,z)をとすると
OA→・BP→=0
であればオッケーです。

これはこういうやり方なんでしっかりマスターしておいてください。


(1,1,1)・(t/3-x,t/3-y,t/3-z)=0

x+y+z=t

これが点Bを通りlに垂直な平面の方程式です。


xy平面との交わりはz=0を代入したらいいから

x+y=t

です。


この一連の流れを身体で覚えたってください。


(2)
これだけややこしい、回転体の体積の問題はあんまり見たことがない。

lで回転って言うのがまた曲者やな。


lで回転するってことはlに垂直な平面の断面積を積分しなければなりません。
ここはよく注意しておいてください。


まず点Bを通るlに垂直な平面の回転体の断面積を求めることにします。

f(x)=x(1-x)としておいて

090226_m02.jpg

Dとx+y=tの共通部分を回転することになりますが、位置関係がよくわかりません。


そこで、点Bとlをxy平面に正射影したB'(t/3,t/3,0).l':y=xを考えるとわかりやすいと思います。

するとf'(x)=1-2xでf'(0)=1でf'(1)=-1ですが、l':y=xは原点でy=f(x)と接しています。

と言うことは点Bから直線x+y=tに垂線を下ろして最短距離を求めようとしても、その交点はDに入ってないからあかんことになります。


Dとx+y=tの共通部分とBとの最短距離は図から言えばDとx+y=tが交わるのは0≦t≦1の時ですが、x+y=tとy=f(x)の交点で二つでますがy≧0の方の交点です。
その点をSとします。

座標はy消去して
x+x-x^2=t⇔x^2-2x+t=0
から
x=1±√(1-t)

y=t-(1±√(1-t))
y≧0の方は
(x,y)=(1-√(1-t),t-1+√(1-t))
だから
S(1-√(1-t),t-1+√(1-t))

そしてDとx+y=tとの一番遠い距離になる点はx+y=tとx軸との交点です。
もちろん0≦t≦1の範囲の話しです。

この点をTとして座標は

T(t,0)

よって、点Bとの距離の最小になるのはBS,最大になるのはBTで計算すると

090226_m03.jpg

BT^2=(t/3-t)^2+(t/3)^2+(t/3)^2=2t^2/3
BS^2=(t/3-1+√(1-t))^2+(t/3-t+1-√(1-t))^2+(t/3)^2
=(2t^2/3-5t+4+(2t-4)√(1-t))

と少々ややこしい式がでます。

少々どころじゃなくて、もう13/15くらいの人がぶほー!って椅子ごと後ろに倒れて後頭部が段の角っちょに当たるレベルかもしれませんが。


それでその点Bを通ってlに垂直な平面をの図を書いてみると、線分STを回転させたのが回転体の断面積になります。

ドーナッツやなこれは。

面積は
πBT^2-πBS^2
=π(4t-4+(4-2t)√(1-t))

でもこのままtで積分してはいけません。

と言うのは積分はl軸のメモリで積分しなければならないからです。
だからl上の点Q(s/√3,s/√3,s/√3)を考えると、OQの長さはsになるからこのsで積分すればよくてQを通るlに垂直な平面で回転体を切った断面積を考えると
s=t/√3とすればさっきまで計算してきた結果が使えるから
回転体があるのは0≦s≦1/√3の範囲で

求める体積は
∫(0,1/√3)2π(2t-2+(2-t)√(1-t)))ds
です。

090226_m04.jpg

これをもっかいs=t/√3と置換して求めます。
ds=1/√3・dt

だから
∫(0,1)2π/√3・(2t-2+(2-t)√(1-t)))dt
=2π/√3・[t^2-2t](0,1)
+2π/√3・∫(0,1)(1-t)^(3/2)dt
+2π/√3・∫(0,1)√(1-t)dt

=-2π/√3+4π/5√3+4π/3√3
=(2√3)/45

この問題は体積は積分する軸に垂直な平面で切った断面積をその軸のメモリで積分しなければならないと言うことがちゃんとわかってないと出来ない問題なので、そういう意味でやるのによい問題だと思います

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