受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

空間ベクトルの問題、京都大学2009年度理系乙の第1問
彼女の誕生日にはプレゼントとして数学を解説してあげてください。

と言うことで、京都大学2009年度理系乙の第1問空間ベクトルの問題を解説します。


[問題]
xyz空間でO(0,0,0),A(3,0,0),B(3,2,0),C(0,2,0),D(0,0,4),E(3,0,4),F(3,2,4),G(0,2,4)を頂点とする直方体OABC-DEFGを考える。辺AEをs:1-sに内分する点をP、辺CGをt:1-tに内分する点をQとおく。ただし0<s<1、0<t<1とする。Dを通り,O,P,Qを含む平面に垂直な直線が線分AC(両端含む)と交わるようなs、tのみたす条件をもとめよ


[解答と解説]
090225_m01.jpg

かなりベクトルのお決まりの問題です。
もう解き方自体を覚えてしまうと役に立つ問題です。

まず図を書きたいところですが、かなり大きくかかないと、ぐちゅぐちゅになってわけわからんことなります。

ただベクトルあんまり図よりも計算できてしまうけどな。

とりあえずまずOP→とOQ→を求めます。
点Pは辺AEをs:1-sに内分する点だから公式にしたがって
OP→=(1-s)OA→+sOE→
=(3-3s,0,0)+(3s,0,4s)
=(3,0,4s)

点Qは辺CGをt:1-tに内分する点だから公式にしたがって
OQ→=(1-t)OC→+tOG→
=(0,2-2t,0)+(0,2-2t,0)
=(0,2,4t)

それで

Dを通り,O,P,Qを含む平面に垂直な直線が線分AC(両端含む)と交わる

って言うのは平面OPQに垂直な線が線分ACと交わるって考えるんじゃなくて

線分AC上に点Rをとって、直線DRが平面OPQと垂直に交わると考えてときます。


こういうのが意外と難しいんかもしれませんが、そこは数学的センスがないと悩むんじゃなくてこうやって解くと覚えてるか覚えてないかだけです。

点Rを線分AC上にとると

OR→=(1-u)OA→+uOC→(0≦u≦1)
=(3-3u,0,0)+(0,2u,0)
=(3-3u,2u,0)

が条件です。

『線分』AC上なので0≦u≦1って条件を忘れないでください。

090225_m02.jpg

それで直線DRが平面OPQに垂直であることは式では
DR→・OP→=0
DR→・OQ→=0
と言うように、DR→が平面OPQ上の0でない一次独立なベクトル二つに垂直であることです。
その一次独立なベクトルの代表にOP→とOQ→をとってます。

DR→・OP→=0

(3-3u,2u,-4)・(3,0,4s)=0

9-9u-16s=0


DR→・OQ→=0

(3-3u,2u,-4)・(0,2,4t)=0

u=4t

でまとめると

9-9u-16s=0
u=4t
0≦u≦1
0<s<1
0<t<1



9-36t-16s=0
0≦t≦1/4
0<t<1
0<s<1
u=4t

でこれをまとめるには
9-36t-16s=0
0≦t≦1/4
0<t<1
0<s<1

をs,t図を書くとわかりやすいです。

図から
9-36t-16s=0
0<t<1/4
って感じでオッケーです。

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