受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

同一円周上と内心の問題、京都大学2009年度第2問の解説
ふにゅ京都大学2009年度理系乙の第2問、同一円周上と内心の問題やる~

別解は→同一円周上と内心の問題、京都大学2009年度第2問の別解


[問題]
平面上の鋭角三角形△ABCの内部(辺や頂点は含まない)に点Pをとり、A'をB,C,Pを通る円の中心、B'をC,A,Pを通る円の中心、C'をA,B,Pを通る円の中心とする。このときA,B,C,A',B',C'が同一円上にあるための必要十分条件はPが△ABCの内心に一致することを示せ。



[解答と解説]
090225_m03.jpg
∠BAP=a
∠CAP=a'
∠ACP=c
∠BCP=c'
∠CBP=b
∠ABP=b'

って置いていってA,B,C,A',B',C'が同一円周上にあると
a=a'
b=b'
c=c'
であることが示せたら、Pが内心って示せます。


まずはA,B,C,C'が同一円周上にあることを考えてみます。

四角形AC'BCが円に内接する必要十分な条件をチェックしてください。

090227_m2.jpg

1,1組の対角は補角をなす(対角をたすとπってこと)
2,外角はその内対角に等しい(1とは同じような)
3,∠BAC=∠BC'C(円周角が等しくなる形)

です。
こんなん実生活であんまり使うことが無いかもしれないから、みんな試験会場で消しゴムに半笑いでぶすぶす穴あけることになってたかもしれんな。


どれを使っても示せると思いますが、

∠BC'A+∠BCA=π

であることを使います。


これをa,a',b,b',c,c'を使って表すことを考えると

円C'に注目して中心角は円周角の2倍だから
∠BC'P=2∠BAP=2a
∠BC'P=2∠ABP=2b'

だから∠AC'B=2a+2b'

また∠ACB=c+c'
だから

∠BC'A+∠BCA=π

2a+2b'+c+c'=π

(c+c'=π-a-a'-b-b'だから代入して)


a-a'+b'-b=0

a-a'=b-b'

090225_m04.jpg

これを
A,B,C,B'が同一円周上、A,B,C,A'が同一円周上にあるも同様にしてやると

a-a'=c-c'
b-b'=c-c'

だから
A,B,C,A',B',C'が同一円周上

A,B,C,A'が同一円周上、かつ、A,B,C,B'が同一円周上、かつ、A,B,C,C'が同一円周上

a-a'=b-b'=c-c'

ここまで綺麗にまとまりました。


ところがPが内心になるには
a-a'=b-b'=c-c'=0
です。

微妙に条件がたりません。


ただA,B,C,A'が同一円周上とA,B,C,B'が同一円周上とA,B,C,C'が同一円周上って別々に出した条件を等号させたわけだから、これが同時になりたつってことから何か出そうな感じがします。


まずPが△ABCの内心Iと一致するなら
a-a'=b-b'=c-c'
は値が0になって当然成り立ちます


しかしa-a'=b-b'=c-c'=k
としてk≠0とすると、直線AIを半時計周りを正としてk回転した直線上に点Pがあって、直線BIを半時計周りにk回転した直線上に点Pがあって、直線CIを半時計周りにk回転した直線上に点Pがなければなりませんが、それぞれk回転させてしまうと一点で交わらなくなります。

だから
a-a'=b-b'=c-c'
が成り立つようなPは内心の時だけです。


逆にPが内心だと
a-a'=b-b'=c-c'
だからA,B,C,A',B',C'が同一円周上にあることになります。

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