受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

行列の問題、京都大学2009年度理系甲乙共通の第4問の解説
京都大学2009年度理系乙の第4問、行列の問題をぶへらっ。

これは理系甲の第4問とほとんど共通ぶへらっ


[問題]
090226_m07.jpg
A=
a b
c d
をad-bc=1をみたす行列とする(a,b,c,dは実数),自然数nに対して平面上の点P_n(x_n,y_n)を

x_n
y_n
=A^n・
1
0
により定める。
OP_1→とOP_2→の長さが1のとき、すべてのnに対してOP_n→の長さが1であることを示せ。ここでOは原点である。


[解答と解説]
090226_m08.jpg
ad-bc=1とかあるから、逆行列とか使って華麗に示せるのかと思わせといてa,b,c,dの成分をごちゃごちゃ場合分けの計算が続きます。

その辺の方針がどっちなのかちょっと難しいですが。

まず|OP_1→|=1
から
a^2+c^2=1
がでます。

|OP_2→|=1はハミルトンケーリーで次数下げをすると結構計算が楽になります。

A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=0
から
A^2=(a+d)A-E
です。

これから
OP_0→=
1
0
としておくと
OP_2→=A^2・OP_0→
=(a+d)A・OP_0→-E・OP_0→
=(a+d)OP_1→-OP_0→

|OP_2→|=1
からOP_1→・OP_0→=aより
|(a+d)OP_1→-OP_0→|^2=1

(a+d)^2-2a(a+d)=0

(a+d)(a-d)=0

これで条件をまとめると
(a+d)(a-d)=0
a^2+c^2=1
ad-bc=1

です。
090226_m09.jpg

まず(a+d)(a-d)=0からa+d=0とa=dに場合わけします。

(i)a+d=0の時

ハミルトンケーリーの定理の式から

A^2=-E

になります。

だからkを自然数として
n=2k-1の時

|OP_n→|=|A^(2k-1)OP_0→|
=|(-E)^(k-1)・A・OP_0→|
=|OP_1→|
=1

n=2kの時

|OP_n→|=|A^(2k)・OP_0→|
=|(-E)^k・OP_0→|
=|OP_0→|
=1

と言うようにA・OP_0→を計算するんじゃなくてA^nを先に計算して±Aか±Eになるのを使います。


090226_m10.jpg

(ii)a=dの時
a^2+c^2=1
ad-bc=1

a^2+c^2=1…①
a^2-bc=1…②

①-②:c(c+b)=0

だから

c=0の時
①よりa=d=±1でこの時
A・OP_0→=±OP_0→

だから
|OP_n→|=|A^n・OP_0→|
=|±A^(n-1)・OP_0→|
=|A^(n-1)・OP_0→|
=…
=|OP_0→|
=1

これはさっきと違ってA^nを先に計算するのではなく、AをどんどんOP_0→にぶつけていくと楽に示せます

c+b=0の時
a^2+c^2=1よりa=cosθ,b=sinθ
とおけて
A=
cosθ -sinθ
sinθ cosθ

になります。

これは回転行列だから

A^n=
cos(nθ) -sin(nθ)
sin(nθ) cos(nθ)

よって
|OP_n→|=|A^n・OP_0→|
=(cos(nθ))^2+(sin(nθ))^2
=1

これはA^nを先に計算しても、OP_0→にぶつけていっても簡単に示せますがどっちか言うとA^nを先にしてからOP_0→にぶつけた方が微妙に楽かもしれん

この問題は

090227_m3.jpg

a^2+c^2=1,a=d,b=-cは回転行列になる
とか
A^nを先に計算したら上手くいく場合がある
反対にA・OP_0→を計算してAを左からぶつけていくと上手いく場合がある
ハミルトンケーリーで次数が下げると楽
複雑な成分の場合わけ
とか行列に必要な色々な計算、解法が出てきて勉強するのにかなり良い問題だと思いますが、反対に言うと行列の扱いに慣れていないとかなり難しいんかもしれませんね。

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