受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

回転体の体積の問題、京都大学2009年度理系乙の第5問の解説
と言うことは京都大学2009年度理系乙の第5問の解説をせなあかんってことやな。

[問題]
xy平面上で原点を極、x軸の正の部分を始線とする極座標に関して、極方程式r=2+cosθ(0≦θ≦π)により表される曲線をCとする。Cとx軸とで囲まれた図形をx軸のまわりに1回転して得られる立体の体積を求めよ。


[解答と解説]
090226_m11.jpg
まずグラフを書かなければなりませんがx,yの表示になおすと

x=rcosθ
=2cosθ+(cosθ)^2

y=rsinθ
=2sinθ+sinθcosθ
=sinθ(2+cosθ)

で微分しなければなりませんが0<θ<πで

y>0
でθ=0の時(x,y)=(3,0)
θ=πの時(x,y)=(-1,0)

でdx/dθ=-2sinθ-2cosθsinθ
=-2sinθ(1+cosθ)≦0

だから単に(3,0)からはじまってyが正の部分を通ってx方向に減少して(-1.0)につなげた単純な形です。


これだけの情報があれば回転体の体積を求めるのには十分です。

もちろんdy/dθを求めて増減表を書いてやってもいいですが、目的に応じてどこまでグラフを正確に調べるかの判断力もつけていってください。


そして求める体積をVとして

V=π∫(-1,3)y^2dx

を求めます。

090226_m12.jpg

まず
dx/dθ=-2sinθ(1+cosθ)
を使ってθに置換していって

V=π∫(π,0)(sinθ)^2(2+cosθ)^2(-2sinθ)(1+cosθ)dθ
=2π∫(π,0)(1-(cosθ)^2)(2+cosθ)^2(1+cosθ)(-sinθ)dθ

こうやって、cosθの式にしてsinθが一つ出来ると置換できるから
cosθ=tとおくと-sinθdθ=dtで
θ|π|…|0|
t|-1|…|1|
より
V=2π∫(-1,1)(1-t^2)(2+t)^2(1+t)dt
=2π∫(-1,1)(1+t)^2(1-t)(2+t)^2dt

1+t=sとおくとdt=dsで
t|-1|…|1|
s|0|…|2|

だから
V=2π∫(0,2)s^2(2-s)(1+s)^2ds
=2π∫(0,2)(-s^5+3s^3+2s^2)ds
=2π[-s^6/6+3s^4/4+2s^2/3](0,2)
=40π/3


この問題は落とせない問題です。

数学3Cは簡単な問題なことが多いからしっかり勉強してきた人にとって得点源やな。

京都大学の入試の数学の過去問の解説

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