受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

京大、立体図形の問題。平地に3本のテレビ塔がある
今回の問題は1966年の京都大学の問題です。


[問題]
平地に3本のテレビ塔がある。ひとりの男がこの平地の異なる3地点A,B,Cに立って,その先端を眺めたところ、どの地点でもそのうち2本の先端が重なって見えた。このときA,B,Cは一直線上になければならない。この理由を述べよ.






[解答・解説]
この問題は直感で解けるから小学生でも超難関の中学受験するような子なら解けるかもしれません。
そういうパフェーマンス的にこの問題が扱われてることもあるかもしれへんし作った側も直感のある学生をとろうとしたのかどうかはわかりませんが、今回言いたいのはそういうことじゃありません。
IQが高いから解けたとか解けんとかそういうことを言っても仕方ないしな。
そうではなくて数学の問題はどのように問題の解決の糸口をつかむかってとこをわかって欲しいと思います。


まず最初に問題文を読んで絵を描きます。
これが一番大切な解決の糸口をつかむ方法です。

この問題は立体図形になります。

立体図形とかは描けるかなあ?

たぶんな、描かれへん子はノートとかに
080513_4.jpg

こうやって風景のスケットとかしてないんちゃうかな。


今日はお兄ちゃんと一緒に絵を描こか。
そしたら、エンピツと紙を用意しましょう。

まず適当に三本のテレビ塔を書きます。
080513_5.jpg

テレビ塔はリアルに描かないでください。
ただの棒を描きます。
東京タワーみたいに描いてたら時間が無くなるし、ぶーわーわけわからんことになります。
長さは、適当に違わしてください。
立体図形を描くコツは、平地を表す長方形は平行四辺形に描くと立体的に見えます。


次に二つのテレビ塔の先端同士を結ぶ直線を平地に引きます。
080513_6.jpg

平地との交点がA、B、Cでこの点から見ればテレビ塔2本の先端が重なって見えることになります。
するとA、B、Cはなんとちゃんと一直線上に並びます。
ただこれは、テレビ塔の高さを同じぐらいにしてるとノートにおさまりきらんデカさになります。
するとテレビ塔の高さはかなり違うようにすれば小さく描けるって感覚がわかってきます。
そういう失敗を繰り返して絵を描くことで問題が少しずつわかってきます。


こうやって絵を描いていくと…
080513_7.jpg

A、B、Cがあるのはテレビ塔の先端の三点を頂点とした三角形を含む平面と平地との交わったところ、言わゆる交線上にあることがわかります。

解答は上のような図を添えて

テレビ塔の三点の先端をD,E.FとするとA,B,Cは平面DEFと平地との交線上にあるから。

と言う感じに書いたら終わりです。



わからなくても気にしないでください。
そんなに絵を描きなれてなかったり、平面と平面の交わりは直線になるとか使ったこと無いかもしれへんしな。
絵を描くことで問題の意味がわかってきたり解答の糸口がつかめたりするってことがわかれば良いわけで、考える前にとりあえず手を動かして絵を描くって癖をつけてください。

京都大学の入試の数学の過去問の解説

高校数学の問題と解説




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