受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

確率の問題、京都大学2009年度文系理系甲共通の第1問の問2の解説
今からそこそこピンク色の服着て京都大学2009年度文系と理系甲共通の第1問の問2を解説します。

[問題]
白球と赤球の入った袋から2個の球を同時に取り出すゲームを考える。取り出した2球がともに白球ならば「成功」でゲームを終了し、そうでないときは「失敗」とし、取り出した2球に赤球を1個加えた3個の球を袋にもどしてゲームを続けるものとする。最初に白球が2個、赤球が1個袋に入っていたとき、n-1回まで失敗しn回目に成功する確率を求めよ。ただしn≧2とする。



[解答と解説]
090227_m8.jpg
こういう問題は1回目,2回目って具体的にまずやってみます。

1回目球の取り出し方の総数は3_C_2通りで成功は白球2個の1通りだから1/3C2
失敗はその余事象で1-1/3_C_2

そして1回目失敗したとします。
この条件で
2回目の球の取り出し方は赤球が1個増えてるから4C2通りで成功は白球2個の1通りだから1/4_C_2
失敗はその余事象で1-1/4_C_2

2回目まで失敗したとします。
この条件で
3回目の球の取り出し方は赤球が1個増えてるから5C2通りで成功は白球2個の1通りだから1/5_C_2
失敗はその余事象で1-1/5_C_2

ずっと同じようにやってk-1回目まで失敗したとします。
この条件で
k回目の球の取り出し方は球はk+2個あるから(k+2)_C_2通りで成功は白球2個の1通りだから1/(k+2)_C_2
失敗はその余事象で1-1/(k+2)_C_2

とわかりました。

これでだいたい、解き方がわかってきました。


えっ?解き方がわかったって?

そうかあ、そしたら今日はパンを手で擦りまくって黒くなったやつサンドイッチやるわ。

090227_m9.jpg

解答にしていくと

1回目成功は1/3_C_2で失敗する確率は1-1/3_C_2=2/3

k≧2の整数kに対して
k-1回目まで失敗した条件の元で
k回目成功するのは1/(k+1)_C_2で失敗するのは1-1/(k+2)_C_2

これをもうちょっと整理して

1-1/(k+2)_C_2={k(k+3)}/{(k+2)(k+1)}

よって求める確率は
2/3・((2・5)/(4・3))・((3・6)/(5・4))・((4・7)/(6・5))
…((n-1)(n+2)/((n+1)n))・1/(n+2)_C_2

=2/3・2/4・(5/3・3/5)・(6/4・4/6)
…((n+1)/(n-1)・(n-1)/(n+1))・(n+2)/n・2/(n+2)(n+1)
=2/(3n(n+1))


と求まりました。

最後の計算は1になる組を上手に作る方法以外にもっと機械的に

{(n-1)!(n+2)!/3!}/{(n+1)!/2!・n!}・1/(n+2)_C_2

とやったら約分しやすくなります。

京都大学の入試の数学の過去問の解説

高校数学の入試問題などの解説




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