受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

積分の問題、京都大学2009年度文系第2問の解説
もう数学的帰納法の時代は終わった。

京都大学2009年度文系第2問の積分の問題を解説をします。


[問題]
090228_m1.jpg
整式f(x)と実数Cが
∫(0,x)f(y)dy+∫(0,1)(x+y)^2f(y)dy=x^2+C
をみたすとき、このf(x)とCを求めよ。


[解答と解説]
090228_m2.jpg
こういう積分記号で表された整式の解き方の解法は

1,微分してみる

2,k=∫(0,1)f(y)dyとおいてf(x)をkで表して再びこの式に代入する

3,x=0とか値を入れてみる

と選択肢があります。


この問題では
∫(0,x)f(y)dy
って形があるのでxで微分したらここがf(x)になります。

右辺はただの2xになります。

気をつけて欲しいのは
∫(0,1)(x+y)^2f(y)dy
です。
どれが変数でどれが定数になるかよく見極めてください
変数はxだけです。

だから

∫(0,1)(x+y)^2f(y)dy
=∫(0,1)(x^2+2xy+y^2)f(y)dy
=x^2∫(0,1)f(y)dy
+2x∫(0,1)yf(y)dy+∫(0,1)y^2f(y)dy

とxを分離して微分します。
∫(0,1)f(y)dyと
∫(0,1)yf(y)dyと
∫(0,1)y^2f(y)dy
は定数なので微分できます。

そのまま積分の中を微分して
∫(0,1)2(x+y)f(y)dy
としても結果は同じなんですが実は積分と微分を交換していいのかどうかって言う話しは理系の理学部で数学を専門にやってる人の中で一部しか理解してないような難しい話やねん。
だから積分と微分を交換するのだけはやらないでください。

まとめておいて

∫(0,x)f(y)dy+x^2∫(0,1)f(y)dy+2x∫(0,1)yf(y)dy
+∫(0,1)y^2f(y)dy=x^2+C…①

①の両辺をxで微分して

f(x)+2x∫(0,1)f(y)dy+2∫(0,1)yf(y)dy=2x

f(x)=2(1-∫(0,1)f(y)dy)x-2∫(0,1)yf(y)dy

ここまでくると

∫(0,1)f(y)dy=k…②

∫(0,1)yf(y)dy=l…③

っておくのがよくやる解法やから、十分にふにゅっといてください。

f(x)=2(1-k)x-2lになってこれを②と③に代入するんでしたね。

最初はこれ変な感じがしたけどな。


②に代入して
[(1-k)y^2-3ly](0,1)=k

2l+2k=1…②'

③に代入して
[2/3・(1-k)y^3-ly](0,1)=l

6l+2k=2…③'

090228_m3.jpg

これで②',③'よりl=1/4,k=1/4
と求まって

f(x)=3x/2-1/2

って無事に求まりました。

Cの求め方ですが、これは実は①にx=0を代入します。

こうすると

左辺の
∫(0,x)f(y)dyは積分区間が∫(0,0)f(y)dy=0

x^2∫(0,1)f(y)dyも2x∫(0,1)yf(y)dyも0

右辺のx^2も0で

∫(0,1)y^2f(y)dy=C

ってなります。

こうやってxに何か値を入れると上手くいくのもポイントなんで覚えていてください。



この問題は文系の問題なのに全部そういう大切な事項が網羅されてて、みんなもう丸暗記して欲しいような問題です。

C=∫(0,1)y^2f(y)dy
=∫(0,1)(3y^3/2-y^2/2)dy
=[3y^4/8-y^3/6](0,1)
=3/8-1/6
=5/24


これで、求まりましたが最悪

∫(0,x)f(y)dy=-∫(0,1)(x+y)^2f(y)dy+x^2+C

より右辺はxの二次式だからf(x)は一次式で

f(x)=ax+b

って置けて代入して積分してxの係数を比べるとかごり押し計算で何とかなります。

解ければいいので、そういうこともチェックしといてください。

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