受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

対数の領域問題、京都大学2009年度文系理系甲共通の第3問の解説
明るい夜はぱうぱう。

京都大学2009年度文系理系甲共通の第3問、対数関数と領域の問題を解説します。


[問題]
090301_m1.jpg
x,yはx≠1,y≠1をみたす正の数で、不等式
log_x(y)+log_y(x)>2+(log_x(2))(log_y(2))
をみたすとする。このときx,yの組(x,y)の範囲を座標平面上に図示せよ。



[解答と解説]
090301_m2.jpg

対数の問題やな。

それはわかってるか。


とりあえず底の方にxやyが入ってると、どうしようもないから底の変換を使います。

log_a(b)=log_c(b)/log_c(a)

指数は対数は単に計算ルールが身についていなくてわからないことが多いので、計算方法をちゃんと身につけたってくれ。


それでどの底で変換するのかと言うと(log_x(2))(log_y(2))があるから2で変換します。
すると
log_x(2)=log_2(2)/log_2(x)
=1/log_2(x)
つまり逆数になるわけやな。

これも底の変換の延長やけど、計算方法になれていったってください。

全部底を2に変換すると

log_2(y)/log_2(x)+log_2(y)/log_2(x)>2+1/((log_2(x))(log_2(y)))

これを整理するには(log_2(x))(log_2(y)を両辺にかける必要があります。
しかし、xが正でもlog_2(x)が正ではありませんでした。

対数の正負は底が1より大きいと

x>1⇔log_2(x)>0,
x<1⇔log_2(y)<0
log_2(1)=0

でした。

そう、私たちは対数によって生かされ、対数によって召されるの。


だから(log_2(x))(log_2(y))を両辺にかけるには、

(log_2(x))(log_2(y))>0⇔x>1かつy>1またはx<1かつy<1の時

(log_2(x))(log_2(y))<0⇔x>1かつy<1の時とまたはx<1かつy>1の時

なわけやからこれで場合わけするわけや。

(i)x>1,y>1またはx<1,y<1の時

(log_2(x))(log_2(y))>0で両辺にかけると
(log_2(y))^2+(log_2(x))^2>2(log_2(x))(log_2(y))+1

これをlog_2(y)で整理していくと

⇔(log_2(y))^2-2(log_2(x))(log_2(y))+(log_2(x)-1)(log_2(x)+1)>0

因数分解して

⇔(log_2(y)-log_2(x)+1)(log_2(y)-log_2(x)-1)>0

1=log_2(2)でプラスは掛け算、マイナスは割り算になるから

⇔log_2(2y/x)log_2(y/2x)>0



2y/x>1かつy/(2x)>1
または
2y/x<1かつy/(2x)<1

xは正だからかけて整理して

y>x/2かつy>2x
または
y<x/2かつy<2x

2x>x/2、x/2<2xだから


y>2xまたはy<x/2


かなり簡潔にまとまったな。


(ii)
090301_m3.jpg

x<1,y>1またはx>1,y<1の時

これは(log_2(x))(log_2(y))<0の時やったから両辺にかけると

(log_2(y))^2+(log_2(x))^2<2(log_2(x))(log_2(y))+1

で後は(i)の時と不等号の向きが全部反対になるだけで



log_2(2y/x)log_2(y/2x)<0



2y/x>1かつy/2x<1
または
2y/x<1かつy/2x>1

xは正だからxかけて整理して



y>x/2かつy<2x
または
y<x/2かつy>2x

2/x<2xよりy<x/2かつy>2xは無理だから


x/2<y<2x



(i)(ii)まとめると

y>2xまたはy<x/2(x>1,y>1またはx<1,y<1の時)

x/2<y<2x(x<1,y>1またはx>1,y<1の時)

これを図示したらオッケーです。

図の斜線部です。

境界は含まないって書くの忘れないようにしてください。。

これは文系の問題でも、色々な対数の性質や公式を効果的に使うから勉強するのにかなりええ問題で、丸暗記してしまって欲しい問題です。

京都大学の入試の数学の過去問の解説

高校数学の入試問題などの解説




テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

▲ページトップへ
この記事に対するトラックバック
トラックバックURL
→http://kazuschool.blog94.fc2.com/tb.php/232-2b6820b6
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
▲ページトップへ
プロフィール

わんこら

Author:わんこら
京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。
東京で数学と物理の講師やってます

わんこら日記で日記とか勉強の仕方とか書いています

わんこら式数学の勉強法

メール
迷惑メールにされる危険性があるので出来るだけ
kazuyuki_ht○guitar.ocn.ne.jp
(○を@にしてください)に送ってください
勉強とかでどんな悩み持ってるかなど色々と教えてくれると嬉しいです。
わんこら式のやり方についてのメールはわんこら式診断プログラムを参考にしてください

詳しいプロフィール

人気blogランキングへ



にほんブログ村 受験ブログへ



学生広場

相互リンクも募集してます。

何かあれば
kazuschool_ht★yahoo.co.jp
かメールフォームからメールください。
(★を@にしてください)

カテゴリー

メールフォーム

名前:
メール:
件名:
本文:

FC2カウンター

リンク

このブログをリンクに追加する

お勧めの参考書、ノート

数学でお勧めのノートは
KOKUYOの無地
理由




センター試験は過去問が大切


チャートが終わったらお勧め
大学への数学1対1シリーズ
数学1


数学A


数学2


数学B


数学3


数学C

月別アーカイブ

ブログ内検索

RSSフィード

最近のトラックバック

ブロとも申請フォーム

この人とブロともになる

  1. 無料アクセス解析