受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

力学の問題、東京大学2009年度物理第1問の解説
物理も解説すると言う、もはや自由のきかない身体になってきたようやな。

東京大学2009年度物理第1問、力学の問題を解説します。


[問題]
図1-1のように、鉛直に固定した透明な管がある。ばね定数kのばねの下端を管の底面に固定し、上端を質量mの物体1に接続する。質量が同じくmの物体2を、物体1の上に固定せずにのせる。
地面上の一点Oを原点として鉛直上向きにx軸をとる。ばねが自然長になっている時の物体1のx座標はhであり、重力加速度の大きさはgである。
 なお、物体の大きさは小さく、管との摩擦や空気抵抗は無視でき、x方向以外の運動は考えない。ばねの質量は無視できる。また、管は十分長く、実験中に物体が飛び出すことはないものとする。

Ⅰ物体1と物体2を、互いに接した状態で、物体1のx座標がx_Aとなる位置まで押し下げ、時刻t=0に諸速度0で放したところ、物体1と物体2は互いに接した状態で単振動を開始した。
(1)この時の、物体1の単振動の中心のx座標を答えよ。
(2)物体1と物体2のx方向の運動方程式をそれぞれ書け。各物体の加速度をa_1,a_2,物体1の位置をx,互いに及ぼす抗力の大きさをN(N≧0)とせよ。
(3)x_Aの値によっては、運動中に物体1と物体2が分離することがある。図1-2はこのような場合の物体の位置の時間変化を示す。運動方程式を使って、分離の瞬間の物体1のx座標を求めよ。なお、図1-2では物体の大きさは無視されており、接している間の物体1と物体2の位置を1本の実線で表している。
(4)分離の瞬間の物体1の速度を答えよ。また、分離が起きるのは、時刻t=0における物体1の位置x_Aがどのような条件を満たす場合か答えよ。

Ⅱ物体1と物体2が分離した後の運動について考える。分離後、物体1は単独で単振動する。物体2は重力のために、分離後ある時間が経過した後に必ず物体1に衝突する。分離から衝突するまでの時間は時刻t=0における物体1の位置x_Aに依存する。ここで、分離から衝突までの時間が、物体1が単独で単振動する際の周期Tに等しくなるように、x_Aの値を設定した。衝突の時刻をT_1とする。
(1)物体1が単独で単振動する際の周期Tを答えよ。また、物体1と物体2が衝突する瞬間(時刻T_1)の物体1のx座標を答えよ。
(2)分離の瞬間の物体2の速度をVとする。分離から衝突までの時間がTとなるためのVの満たす式を書け。
(3)物体1と物体2の間のはねかえり係数は1であるとし、時刻T_1以降に再び接触する時刻T_2と、その時の物体1のx座標を答えよ。また、時刻t=0から2T_1までの間で、横軸を時刻、縦軸を物体の位置とするグラフの概形を描け。物体の大きさは無視し、物体1と物体2が接した状態で運動している部分は実線、分離している部分は点線を用いよ。なお、横軸、縦軸共に、値や式を記入する必要はない。
(4)この場合のx_Aをh,m,k,gを用いて表せ。
090301_m4.jpg



[解答と解説]
090301_m5.jpg
(1)単振動の中心は力がつりあっている位置です。
だから求める位置をx=x_0として、物体1と2をあわせた物体の図を書いて位置xではh-x縮んでるから上に弾性力k(h-x)と重力2mgが働いててい、つりあいの位置では
2mg-k(h-x_0)=0
より
x_0=h-2mg/k

になるわけなんですわ。

(2)まず物体1に接触してる力は物体2とバネだから物体2から下向きに抗力N、弾性力はさっきと同じで上向きにk(h-x)で図に書き入れて、重力はmg。
これから運動方程式をたてて
ma_1=k(h-x)-mg-N

物体2に接触してるのは物体1だけだから抗力Nが上向きに働いていて、重力はmgやから
ma_2=N-mg

090301_m6.jpg
(3)
a_1とa_2って分けたけど、接触してる間はこれは同じやからa_1=a_2です。
だから二つの運動方程式は
ma_1=k(h-x)-mg-N
ma_1=N-mg
になって分離するときはN=0ってやるのがお決まりでした。

だからまず辺々引いてa_1を消去して
N=k(h-x)/2
N=0って代入してx=hってわかります。

(4)
090301_m7.jpg
これもよくあるパターンで速度を求めるにはエネルギー保存則を使います。
比べるのは一番最初の状態が速度0で単振動の中心からのバネの縮みがx_A-x_0だから弾性エネルギーがk(x_A-x_0)^2/2
分離する時刻では求める速度をv_1とすると運動エネルギーは2mv_1^2/2と単振動の中心からのバネの縮みがx_A-x_0だから弾性エネルギーはk(x_A-x_0)^2/2


2mv_1^2/2+k(h-x_0)^2/2=k(x_A-x_0)^2/2
これを解いて
v_1=√(k(x_A-h)^2/(2m)+g(x_A-h))

分離するのはこのv_1>0が存在する時だから

(k(x_A-h)^2/(2m)+g(x_A-h))>0

(x_A-h)(x_A-h+4mg/k)>0
x_A<hだから

x_A<h-4mg/kです。


これはよくあるパターンなのでこの流れを覚えて下さい。

ただ一つ注意なのは、重力の位置エネルギーは考えなくてええんか?ってことですが、これは
『単振動の中心を基準とした弾性エネルギーは重力の位置エネルギーが含まれている』
ってことです。

だからもし、自然の長さhを基準に弾性エネルギーで考えると重力の位置エネルギーも必要で
2mv_1^2/2+mgh=k(x_A-h^2)/2+mgx_A
で計算しても同じ結果になります。


これは悩まずに単振動の中心を求めてしまったら余り何も考えずに単振動の中心を基準とした弾性エネルギーで考えて素早く計算を解いてしまってください。


Ⅱ(1)
090301_m8.jpg
物体1の質量はmでこれにバネ定数kのバネをつけてると周期はT=2π√(m/k)です。
これは特に東大ではスピードが求められるため暗記してぱっと答えるのがコツですが、一応説明すると運動方程式を立てると
ma_1=-k(x-h+mg)
で加速度は
a_1=-(k/m)(x-h+mg)
になりますが
a=-ω^2x
って言う式と見比べて
角速度は√(k/m)で周期は2π/√(k/m)=2π√(m/k)になります。

でもこれは覚えてしまったほうがいいです。
いちいち計算してたら、うへ~ってなります。
重いほど周期は長くなるのは常識的な感覚だから分子がmって覚えてたらいけます。

分離して時間がTたってから衝突するわけですが、Tたつと物体1は元の位置に戻るから分離したときの位置x=hで衝突することになります。

下手に計算や式で考えるのではなく絵的に物理的に考えて下さい。

(2)
(1)からT秒後は物体2も同じ位置のx=hに戻るから、x=hを速さVで上に出発すると再びx=hに戻ってきた時の速さは下向きにVです。
この時間がT秒なわけだから
-V=V-gT
よりV=gT/2。

こうやって式で考えるよりも、絵やグラフで考えて速さVで上に掘り投げると下に戻ってきた時は下に速さVになってるって知識を使って簡単に求めたってください。

ふにゅふにゅ。


(3)
090301_m9.jpg
はね返り係数1で物体1,2は同じ質量だから、ビリヤード状態ってやつや。

この衝突で物体1が上向きにV、物体2が下向きにVやったのが、物体が1が下向きにV,物体2が上向きにVって反対になって運動状態はビデオを巻き戻していく運動になります。

つまりグラフを書くとt=T_1(衝突時)で左右対称になってるねん。

だから再び接触するのはx=hで時間もT_1から一周期分でT_2=T_1+T
になります。


これも式で考えるんじゃなくて、絵とかグラフを書いてはね返り係数が1でどちらも同じ質量なら速度が入れかわるとか知識を使って解いください。

(4)
090301_m10.jpg
これは式だけの問題です。
今までのをまとめると
T=2π√(m/k)
V=gT/2
V=√(k(x_A-h)^2/(2m)+g(x_A-h))

これを解きます。
T,Vを消去していって

k^2(x_A-h)^2+4mgk(x_A-h)-2g^2π^2m^2=0
これから
x_A=h-2mg(1+√(1±π^2/2))/k

ですがx_A<hよりマイナスの方は不適だから

x_A=h-2mg(1+√(1+π^2/2))/k)

と求まりました。

こうやって東大は結構計算が大変になりますね

東京大学の入試の物理の過去問の解説




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