受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

三角関数の図形問題、京都大学2009年度文系第4問の解説
京都大学2009年度文系の第4問の解説して、一緒にふにゅりましょう。


[問題]
平面上で、鋭角三角形△OABを辺OBに関して折り返して得られる三角形を△OBC,△OBCを辺OCに関して折り返して得られる三角形を△OCD,△OCDを辺ODに関して折り返して得られる三角形を△ODEとする。△OABと△OBEの面積比が2:3のとき、sin∠AOBの値を求めよ。


[解答と解説]
090302_m1.jpg
問題文から図を書いてみると∠BOCは∠AOBの三倍になってるのがわかります。
∠AOB=θとすると、∠BOC=3θです。

それで辺の長さがOA=a,OB=bとするとOE=aで
△OAB=1/2・a・b・sinθ
△OBE=1/2・a・b・sin3θ
で面積の比はsinθとsin3θの比になることがわかります。


でも3θがπを超えたら、sin(2π-3θ)になるとこが注意やな。

3θ=πつまりθ=π/3のときは、点B,O,Eは一直線上にあるから三角形ができません。

鋭角三角形だからθ<π/2で、これより大きかったら4θ≧2πになって三角形が重なってまいますね。

こうやって図を色々書いて、ここまで気づくとそらもうあれです。


090302_m2.jpg

(i)0<θ<π/3の時
△OAB=(absinθ)/2

△OBE=(absin3θ)/2

よって
△OAB:△OBE=2:3

3sinθ=2sin3θ

ここでsin3θをsinθの式にする必要があります。
3倍角は
sin3θ=3sinθ-4(sinθ)^3
cos3θ=4(cosθ)^3-3cosθ
なわけやけど、これは出来れば覚えたってください。
と言ってもほとんどの人は覚えずに、加法定理で導いてると使ってるんやろうけどな。

sin(3θ)=sin(2θ+θ)
=sin2θcosθ+cos2θsinθ
=2sinθ(cosθ)^2+(1-2(sinθ)^2)sinθ
=2sinθ(1-(sinθ)^2)+(1-2(sinθ)^2)sinθ
=3sinθ-4(sinθ)^3

って導いて、cos3θはsin3θでθをπ/2-θに置き換えて

sin(3π/2-θ)=3cosθ-4(cosθ)^3

-cos3θ=3cosθ-4(cosθ)^3

cos3θ=4(cosθ)^3-3cosθ

とやれば導けるってのを覚えててください。


元の式に戻って

3sinθ=2sin3θ



3sinθ=2(3sinθ-4(sinθ)^3)



sinθ(8(sinθ)^2-3)=0

0<sinθ<(√3)/2よりsinθ=0とsinθ=-√(3/8)は不適で

sinθ=√(3/8)
=(√6)/4

090302_m3.jpg

(ii)θ=π/3の時、3点O,B,Eが一直線上にあるから不適。

(iii)π/3<θ<π/2

△OAB=(absinθ)/2

△OBE=(absin(2π-3θ))/2

よって
△OAB:△OBE=2:3

3sinθ=2sin(2π-3θ)(=-2sin3θ)

sinθ(8(sinθ)^2-9)=0

0<sinθ,8(sinθ)^2-9<-1より解はなしです。


(i)(ii)(iii)からsinθ=(√6)/4

と決まりました。


ちゃんと図を書いて考えてくれってことと、3倍角など基本的な三角関数の方程式が解けるかって言う問題で色々と勉強になる良い問題になってます。

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