受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

整数問題、京都大学2009年度文系、理系甲の共通の第5問の解説
だからポテトチップスは落ちついて食べなあかんねん。

京都大学2009年度文系、理系甲の共通の第5問、整数問題の解説をはじめます。


[問題]
090304_m1.jpg
pを素数、nを正の整数とするとき、(p^n)!はpで何回割り切れるか。



[解答と解説]
090304_m2.jpg
こういう問題はやったことあるかな?
1~2007までの数をかけた時に出来る数は後ろから何個0が続くか?って言うような問題。
なんかこれは中学受験の問題やねんけどな。
テレビでもやってたけど。

これは1~2007までかけた数は10で何回割りきれるか?って問題になります。
10は2×5なので(素因数分解とか言う)
1~2007までかけた数は5で何回割り切れて2で何回割り切れるかって問題になりますが、直感的にもわかりますが5で何回割り切れるかの回数の方が少ないので5で何回割り切れるかって問題になります。

この解き方は、

1,2,3,…,2006,2007の数で5の倍数が何個あるかと言うと

2007÷5=401余り2

で401個5の倍数があります。

しかしその5の倍数の
5,10,15,20,25,30,…,2005
の401個の数の中に5×5=25とか5でもう一回割れるものがあります。
そういう25の倍数が何個あるかと言うと

401÷5=80余り1

で80個25の倍数があります。

しかしその25の倍数の
25,50,75,100,125,150,…,2000
の80個の数の中には25×5=125とか更に5でもう一回割れるものがあります。
そういう125の倍数が何個あるかと言うと

80÷5=16

で16個125の倍数があります。

しかし125の倍数の
125,250,375,500,625,750,…,2000
の16個の数の中には125×5=625とか更に5でもう一回割れるものがあります。
そういう甘くて切ない625の倍数は何個あるかと言うと

16÷5=3余り1

で3個の625の倍数があります。

しかしその625の倍数の
625,1250,1875
の3個の数の中には625×5=3125はすでに2007を越えてるのでありません。

紛らわしい書き方するなって話しやなこれ。


ということで5で何回割りきれるかは、全部足して
401+80+16+3=500回
なので1~2007までかけた数は10は後ろから500個続きます。

2は5より小さいから直感的にも500回以上わりきれて500個10のペアを作ることが出来ます。


この問題は中学受験でもやるってことなので、この問題の解き方を習っていれば今回の京大の問題は同じ方法で解けます。
まあこうやって中学受験はすでに小学生で大学受験を意識した教育で、そこで差が出てしまうわけですが、もちろん中学受験をしたけどそんなことは忘れたとか習ってないとか、中学受験をしてないとかたくさんいると思うので、これでやり方を覚えたら終わりです。
今からやり方を覚えれば余裕です。

反対に言えば中学受験をやるとかやらないとか言うより数学が出来る人は才能とか言うよりたくさんの知識を身体で覚えさせられてるって言うことが分かると、勉強の仕方がわかるから非常に優位に立ちます。


話しは戻って京大の問題は余りが無い分、やり方がわかれば計算はこっちの問題の方が簡単なような気もします。

090304_m3.jpg

まず(p^n)!つまり1~p^nまでかけた数はpの倍数は何個あるかと言うと、

まず

1,2,3,…,p,…,2p,…,3p,…,p^n

のp^n個の数からpの倍数の個数は

p^n/p=p^(n-1)個

です。

そのpの倍数

p,2p,3p,…,p^2,…,2p^2,…,p^n

のp^(n-1)個の数からp^2の倍数の個数は

p^n/p^2=p^(n-2)個



p^2,2p^2,…,p^n

の数の個数のことになります。


これを続けてp^(n-1)の倍数の個数は

p^n/p^(n-1)=p個



p^(n-1),2p^(n-1),…,p^n

の数のことで、このうちp^nの倍数は

p^n/p^n=1個

です。

だからpで何回割り切れるかは

p^(n-1)+p^(n-2)+…+p+1
=∑(k=1~n)p^(k-1)
=(p^n-1)/(p-1)回ってことになります。

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