受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

電磁気の問題、東京大学2009年度物理の第2問の解説
物理もたまにはええと思いませんか?

怖い聞き方やなこれ。

東京大学2009年度物理、第2問の電磁気の問題の解説やります。



[問題]
図2のように、紙面内の上から下向き(x軸の正の向き)に重力(重力加速度の大きさg)がはたらき、紙面に垂直に裏から表の向きに一様な磁場(磁束密度の大きさB)が、EFとGHの間の領域だけに加えられている。EFとGHは水平である。抵抗R、質量mの一様な導線を一巻きにして作った高さa,幅bの長方形のコイルABCDを、磁場のある領域の上方から落下させる。その際、ABCDは紙面内にあり、BCがx軸と並行となるように、常に姿勢を保つようにした。EFとGHの距離はコイルの高さaに等しい。導線の太さはaやbに比べ十分小さく、EFはbに比べ十分長いものとする。また、自己誘導や空気抵抗は無視し、地面との衝突は考えないものとする。
↓図2
090304_p4.jpg

Ⅰ時刻t=0に、ABとEFの距離がhとなる位置から初速度0でコイルを落下させた。
(1)ABがEFに到達する時刻t_1と、その時のコイルの速さv_1をhを用いて表せ。
(2)ABがGHに到達する時刻をt_2とする。ある時刻t(t_1<t<t_2)に、コイルが速さvで落下しているとする。このとき、コイルにはたらく合力(x軸の正の向きを正とする)をvを用いて表せ。
(3)ABがEFに到達する時のコイルの速さv_1の値によって、時刻t_1からt_2の間にコイルが加速する場合と減速する場合がある。それぞれの場合における、v_1の条件を記せ。


Ⅱ時刻t_1からt_2の間コイルが等速度で落下するように、時刻t=0におけるコイルの位置をうまく調整してから、初速度0で落下させた。
(1)この場合の、時刻t=0におけるABとEFの距離と時間t_2-t_1を求めよ。
(2)時刻t_1からt_2の間に、コイルで消費される電力Pと熱として発生するエネルギーWを求めよ。
(3)DCがGHに到達する時刻とt_3とする。時間t_3-t_2を求めよ。また、落下開始から、磁場のある領域を十分離脱するまでの、コイルの速さの時間変化を表すグラフを描け。グラフには、t=t_1,t_2,t_3(具体的な式は不要)と、それらの時刻における速さの式を記せ。



[解答と解説]
(1)
090304_p5.jpg
重力加速度gから時刻t_1までに進む距離はgt_1^2/2より
h=gt_1^2/2
からt_1=√(2h/g)
でこの時の速さは
v_1=gt_1=√(2gh)

(2)コイルの中を通る磁場は増えていくから磁場を減らす方向に誘電起電力が発生します。
だからB→Aの向きの誘導起電力Vは
V=Bbv
これはよくやる問題なのでオッケーやと思います。

一応、計算的にはコイルの中で磁場が通る面積SはS=bvtと表されて誘導起電力は
V=d(BS)/d t=Bbv
ってBSをtで微分します。

抵抗はRだから流れる電流Iは
I=V/R
=Bbv/R
でフレミングの左手の法則からAB部分にx軸の負の向きに
IBb=(B^2b^2v)/R
の力がを受けるから重力とあわせて合力Fは
F=mg-(B^2b^2v)/R

(3)
090304_p6.jpg
加速する場合と減速する場合があると言うことやから最初のv=v_1のF=mg-(B^2b^2v_1)/R時だけ考えたらよくて
加速するのはF>0よりmgR/(B^2b^2)>v_1、
減速するのはF<0よりmgR/(B^2b^2)<v_1の時です。

加速する場合と減速する場合があると言うことやから、こういう答えになりますがmgR/(B^2b^2)>v_1の時は確かに最初はF>0で加速するけど、F=mg-(B^2b^2v)/Rだからだんだん速度が大きくなっていくとF<0になるのではないかとか心配になりますよね。

そういうことにはならなくて、運動方程式である
mdv/dt=mg-(B^2b^2v)/R
の微分方程式を解いてvをtであらわして実際にv-tグラフを最後に書きました。

詳しい話しは最後に書きますね。



(1)
090304_p7.jpg
等速になるのはF=0の時より
mg-(B^2b^2v_1)/R=0
から
v_1=mgR/(B^2b^2)

それでhはⅠ(1)よりv_1=√(2gh)だから
√(2gh)=mgR/(B^2b^2)
より
h=R^2m^2g/(2B^4b^4)
でt_2-v_1の時間、速度v_1でa動くから
(t_2-t_1)v_1=a
より
t_2-t_1=B^2b^2a/(mgR)


(2)
電力Pは仕事率のことでRI^2ですが
P=I^2R=B^2b^2v_1^2/R
=m^2g^2R/(B^2b^2)

熱として発生するエネルギーは電力Pが時間t_2-t_1の間働くから
P(t_2-t_1)=amg

よくかんがえたら距離aの間mgの力が働いてたのに速度は一定だったから、それが全部エネルギーになったわけで当たり前の値です。


(3)
090304_p8.jpg
コイルが磁場が流れてるところから抜けていく時はコイルの中を通る磁場が減っていくわけなので、誘電起電力の向きはⅠの(2)とは反対向きに流れるわけですがCからDの向きなので結局コイルに働く力は同じになります。
つまり結局v=mgR/(B^2b^2)の等速運動になって
t_3-t_2=t_2-t_1=B^2b^2a/(mgR)

グラフは0<t<t_1までは傾きgの直線で、t_1<t<t_3の時は速さmgR/(B^2b^2)で一定でt_3<tでまた傾きgの直線になります。


簡単なグラフ過ぎて、おえ~!?ってどっか間違えてなかったか見直してまいそうになるのが特徴です。



ついでにⅠ(3)で書いてたことですがt=t_1から合力F=mg-(B^2b^2v)/Rがかかりますが、これが0でない時はどんなグラフになるかと言うと

090304_p9.jpg

微分方程式
mdv/dt=mg-(B^2b^2v)/R
を解いて

090304_p10.jpg

ってなります。
つまり
mgR/(B^2b^2)>v_1の時はvはmgR/(B^2b^2)に限りなく近づくだけでずっとmgR/(B^2b^2)未満です。
だから加速し続けます。

mgR/(B^2b^2)<v_1の時はvはmgR/(B^2b^2)に限りなく近づくだけでずっとmgR/(B^2b^2)より大きいです。
だから減速し続けます

こっからマニアックな話しなので適当に読み流してください。
わかりやすいように正確性を犠牲にして書いてあるので、理解しようとして悩んでも時間の無駄です。
大学に入ってちゃんと勉強してください。


これは微分方程式の理論からは
Fがvの連続関数であると、(t,v)を通る解v(t)は一つだけ存在します。

だからどこか適当な時刻Tでv=mgR/(B^2b^2)の値をとってしまうと、その時刻TでF=0ですがv(t)=mgR/(B^2b^2)であればdv/dt=0なのでこれは確かにt=Tの時v=mgR/(B^2b^2)と言う値をとります。
だからどの時刻においてもv=mgR/(B^2b^2)の値をとってしまうと、微分方程式の解はv(t)=mgR/(B^2b^2)になってしまいずっとF=0になります。

よってどこかの時刻でF>0になるようであれば、ある時刻でもしF=0になったとすると常にF=0になってF>0になる時刻が存在することに矛盾するからvはF=0になるmgR/(B^2b^2)を越えることはありません。

同様にF<0となるようなvであればある時刻でもしF=0になったとすると常にF=0になってF<0になる時刻が存在することに矛盾するからvはF=0になるmgR/(B^2b^2)より小さくなることはありません。


だから問題文には
コイルの速さv_1の値によって、時刻t_1からt_2の間にコイルが加速する場合と減速する場合がある。

の二択になってるわけです。

v=v_1でF≠0とするとF=0をとれないから加速し続けるか、減速し続けるかのどっちかになります。
加速してから減速するってことはないし、減速してから加速するってことはありません。
だからv_1の時にF>0で加速すれば、その後もずっとF>0で加速し続けて、v_1の時にF<0で減速すれば、その後もずっとF<0で減速し続けます。

そしてⅡがF=0の時のことですね。

東京大学の入試の物理の過去問の解説




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