受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

東大理系、回転体を平面で切ってできた立体図形の体積
今日の問題は1983年の東京大学の理系の問題です。

(以下、x^2はxの二乗を示す)
[問題]
放物線y=3/4-x^2をy軸のまわりに回転して得られる曲面Kを、原点を通り回転軸と45°の角をなす平面Hで切る。曲面Kと平面Hで囲まれた立体の体積を求めよ。




[解答・解説]
難易度としては難しいと言うより方針をミスると、どえらいことになります。
一回はこういうこと経験をしとくと良いと思います。
立体図形の体積を求める積分の問題としては良い練習にはなると思います。

まず最初はとりあえず図を描いてみることが一番最初にやることです。
080515_8.jpg

この問題の図は描くのちょっと難しいかもしれません。


図を見ると平面Hで切れる直前まではただの回転体だから、そこで分けて考えたらよさそうです。
080515_9.jpg

でこうやると血吐いて肋間神経痛になって倒れました。


たぶんこうやってしまうと積分得意な人が

この問題イケるんちゃうん!

って必死に積分を計算してるうちにどんどん時間が立って計算を書いては消して、書いては消してる内に紙がびり~!!ってなって
何もかも終わった!
って人生が変わることになります。


まあ出来んこと無いんかもしれへんけどな。


回転体って聞くからy軸に垂直に切って考えてしまうのかもしれません。
なんかおかしいなって思ったら、一回落ち着いて切り方を変えてみましょう。

と言うことで単純にx軸に垂直に切って求めます。
080515_1.jpg


やり方は立体の体積を積分で求める問題の典型的なパターンで

x=kの平面で切って、その断面積を求めます。
そしてその断面積をx軸に沿って積分します。



断面積を求めるために、まず回転体の方程式を求めましょう。

yに垂直なある平面で、回転するまえの図形において|x|が回転した時に半径になります。
x^2=|x|^2でこの|x|のとこに回転した時の半径√(x^2+z^2)を入れると完成です。


y=3/4-x^2とy=xの交点を求めておいてkで積分する範囲を出しときます。
080515_2.jpg


x=kで切った断面を図に書きます。
yz平面に正射影した図形を書きます。


080515_3.jpg

放物線のとこは回転体の方程式にx=kを代入した式で
下の直線のとこは平面y=xのとこなので、x=kを代入してy=kになります。

この放物線と直線に囲まれた面積S(k)を求めます。

これはよくやったことあると思います。

交点のx座標をα、β(α<β)として
∫(x-α)(x-β)dx(αからβまで積分)=-1/6(β-α)^3
を使ってすばやく出しましょう。

これを使う時は写真に書いてあるようにやると良いです。



後はS(k)をkで積分です。
080515_4.jpg

こういう√の中が二次の場合、とりあえずは平方完成するのがコツです。
この問題はcosθ(もちろんsinθでも良い)で置換すると出来ます。
平方完成して
√(a^2-x^2)の形はx=asinθ
√(x^2-a^2)の形はx=a/cosθ
√(a^2+x^2)の形はx=atanθ
に変換するとだいたい高校の問題なら上手く行きます。
他にもやり方ありますが、まあ色々言いすぎてもあれやし三角関数の置換だけでええか。
√(1-cosθ^2)=|sinθ|なので注意してください。
例えばθ=3π/2なら
√(1-cosθ^2)=1
sinθ=-1
だから、√(1-cosθ^2)=sinθではありません。

この積分区間ではsinは常に正だから絶対値は外れます。


080515_5.jpg

もうsin^2とかが出てきたら、倍角に直して積分って言うお決まりです。
文字はこのくらいのサイズの方が見やすいですね。

たぶんだんだん慣れてきたら、見やすくなると思います。
これで計算は終了。
答えはかなりシンプルです。



他のやり方としては、平面y=xに平行に切っても出来ました。
080515_6.jpg

注意して欲しいのは、積分は積分する面に対して垂直な軸にしなければなりません。

予想としてはこの断面は楕円になりそうです。


この平行に切った面がどんな図形なのか積分のこともあるし、xy平面を45°回転させたXY座標を用いてみるとスッキリしそうです。

座標の回転は習うのかどうかわかりませんが、極座標で考えたらわかりやすいと思います。

そして回転体の方程式に代入してX,Yであらわします。
平面y=xに平行な面、Y=kで切ります。

もうしんどいからYそのままでやります。
Yは今、定数と考えてください。
こうやって説明書いてる方がもしかするとしんどかったかもしれません。

代入して整理すると楕円になります。
080515_7.jpg

Xとzで平方完成すればよいです。


後は(x/a)^2+(y/b)^2=1の楕円の面積はabπを使います。

これをYで積分すれば求まります。

この方針は最後の積分があほみたいに簡単になりますが回転座標はあまり使ったこと無いかもしれないし楕円になるとかそんなん普通わからないと思います。


高校数学の問題と解説

東京大学の入試の数学の過去問の解説




テーマ:算数・数学の学習 - ジャンル:学校・教育

▲ページトップへ
この記事に対するトラックバック
トラックバックURL
→http://kazuschool.blog94.fc2.com/tb.php/24-19193114
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
▲ページトップへ
プロフィール

Author:わんこら
京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。
東京で数学と物理の講師やってます

わんこら日記で日記とか勉強の仕方とか書いています

わんこら式数学の勉強法

メール
迷惑メールにされる危険性があるので出来るだけ
kazuyuki_ht○guitar.ocn.ne.jp
(○を@にしてください)に送ってください
勉強とかでどんな悩み持ってるかなど色々と教えてくれると嬉しいです。
わんこら式のやり方についてのメールはわんこら式診断プログラムを参考にしてください

詳しいプロフィール

人気blogランキングへ



にほんブログ村 受験ブログへ



学生広場

相互リンクも募集してます。

何かあれば
kazuschool_ht★yahoo.co.jp
かメールフォームからメールください。
(★を@にしてください)

カテゴリー

メールフォーム

名前:
メール:
件名:
本文:

FC2カウンター

リンク

このブログをリンクに追加する

お勧めの参考書、ノート

数学でお勧めのノートは
KOKUYOの無地
理由




センター試験は過去問が大切


チャートが終わったらお勧め
大学への数学1対1シリーズ
数学1


数学A


数学2


数学B


数学3


数学C

月別アーカイブ

ブログ内検索

RSSフィード

最近のトラックバック

ブロとも申請フォーム

この人とブロともになる

  1. 無料アクセス解析