受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

確率の問題、東京大学2009年度文系理系共通第3問の問題の解説
さあて東京大学2009年度文理共通の第3問、確率の問題でもやってリフレッシュするか。


[問題]
スイッチを1回押すごとに、赤、青、黄、白のいずれかの色の球のが1個、等確率1/4で出てくる機械がある。2つの箱LとRを用意する。次の3種類の操作を考える。

(A)1回スイッチを押し、出てきた玉をLに入れる。

(B)1回スイッチを押し、出てきた玉をRに入れる。

(C)1回スイッチを押し、出てきた玉と同じ色の玉が、Lになければその玉をLに入れ、Lにあればその玉をRに入れる。

(1)LとRは空であるとする。操作(A)を5回おこない、さらに操作(B)を5回おこなう。このときLにもRにも4色すべての玉が入っている確率P_1を求めよ。

(2)LとRは空であるとする。操作(C)を5回おこなう。このときLに4色すべての玉が入っている確率P_2を求めよ。

(3)LとRは空であるとする。操作(C)を10回おこなう。このときLにもRにも4色すべての玉が入っている確率をP_3とする。P_3/P_1を求めよ。



[解答]
(1)落ち着いてやれば、単に計算がややこしい普通の問題です。
内容的には簡単でも中々最後まで答えをあわせるのが難しいところが東大にはよくあるからな。

090309_m1.jpg

○、×、△、□を赤、青、黄、白のいずれかとします。

(A)を5回おこなってLに4色すべての玉が入るのは

出る玉が○○×△□の組み合わせになる時です。

この一つだけ二つになってる○になる色の選び方は4_C_1通りです。

それで後は○○×△□を並べて同じものを含む順列を使って

5!/2!通り

です。

だから確率は4_C_1・(5!/2!)/4^5

また(B)を5回おこなってRに4色すべての玉が入るのは同様にして確率は4_C_1・(5!/2!)/4^5だから求める確率は

4_C_1・(5!/2!)/4^5×4_C_1・(5!/2!)/4^5

=5・3・5・3/4^6
=225/4096

東大独特の計算と数え上げる処理の複雑さがありますが慎重にやって間違えないように気をつけてください。

考え方のレベル的にはセンターぐらいなのでしっかり点数とりたいとこです。

(2)
090309_m2.jpg

Lは○×△□

Rは○

の組み合わせで結局○○×△□の出方を数え上げるから、これは(A)を5回おこなってLに4色すべての玉が入る時と同じなので確率は

4_C_1・(5!/2!)/4^5=3・5/4^3
=15/64

こうやって○とか×とか△とか□とか実際に絵で書いて考えると、どういう操作なのかわかりやすいと思います。

(3)(C)の操作ではLに同じ色があると、Rに入れるからLに4色すべて入ってるなら一つずつ入ってることで○×△□の組み合わせに決まります。

Rの方は○×△□って入れると後二つ必要なので

(i)○○××△□



(ii)○○○×△□

の組み合わせの場合が考えられます。


(i)二つ出てくる○と×になる色の選び方は4_C_2通り。

後はRとLあわせて
○○○×××△△□□
の組み合わせが出ればいいからこの並べ方を考えて

10!/(3!3!2!2!)通り

だから確率は

4_C_2・(10!/(3!3!2!2!))/4^10


090309_m3.jpg

(ii)三つ出てくる○になる色の選び方は4_C_1通り。

後は同様にRとLあわせて
○○○○××△△□□
この並び方は
10!/(4!2!2!2!)通り

よって確率は

4_C_1・(10!/(4!2!2!2!))/4^10

だから
P_3=4_C_2・(10!/(3!3!2!2!))/4^10 + 4_C_1・(10!/(4!2!2!2!))/4^10
=10!/(4^10・2!2!)・(4_C_2/3!3!+4/2!2!)
=10!/4^12
=5・9・7・3・5・3/4^8

よって

P_3/P_1=
4^6/5・3・5・3×5・9・7・3・5・3/4^8
=63/16


そんなに難しい場合わけではないけど、やっぱりちゃんと問題の意味を掴んで正確に処理して正確に計算して最後まで答えをあわせるって言うのは難しいです。

丁寧な計算、ちゃんと絵を書いてみて数え上げる習慣を普段から身につけるようにしたってください。
そういう問題の解き方とかやり方自体を覚えることで、複雑な問題の処理も正確にできるようになってくると思います。

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