受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

不等式の問題、東京大学2009年度理系第5問の解説
ぐふっ数学ばっかやってると豚も踊るな。

東京大学2009年度理系第5問、不等式の問題の解説をします。


[問題]
090311_m1_R.jpg
(1)実数xが-1<x<1,x≠0をみたすとき、次の不等式を示せ。

(1-x)^(1-1/x)<(1+x)^(1/x)

(2)次の不等式を示せ。

0.9999^(101)<0.99<0.9999^(100)



[解答と解説]
(1)
090311_m5_R.jpg

不等式の形を見るからには、対数をとって整理して微分を使うんではないか?って思われます。
だから

(1-x)^(1-1/x)<(1+x)^(1/x)



(1-1/x)log(1-x)<(1/x)log(1+x)



(1/x)log(1+x)+(1/x)log(1-x)-log(1-x)>0

x^2>0だから両辺にかけて



xlog(1+x)+xlog(1-x)-x^2・log(1-x)>0

だから
f(x)=xlog(1+x)+xlog(1-x)-x^2・log(1-x)
とおいて微分したら、良さそうですが恐らくは血吐くんちゃうかな。

オレもその血吐いたやつの一人や。


とりあえず、ちょっと式がややこしいから

x(log(1+x)+log(1-x)-xlog(1-x))>0

ってf(x)=log(1+x)+log(1-x)-xlog(1-x)を考えて

0<x<1の時f(x)>0

-1<x<0の時f(x)<0

ってやった方が関数が簡単です。

x^2をかけなくても

(1/x)(log(1+x)+log(1-x)-xlog(1-x))>0

の式でオッケーやな。


以上を踏まえてやってみると、

090311_m2_R.jpg

(1-x)^(1-1/x)<(1+x)^(1/x)



(1-1/x)log(1-x)<(1/x)log(1+x)



(1/x)(log(1+x)+log(1-x)-xlog(1-x))>0

ここで
f(x)=log(1+x)+log(1-x)-xlog(1-x)
(-1<x<1)とおきます。

元の不等式はx≠0ですが、この関数はx=0でも大丈夫なのでx=0も含めて調べられます。

f'(x)=1/(1+x)-1/(1-x)-log(1-x)+x/(1-x)

=1/(1+x)-log(1-x)-1

これだけではどうも、よくわかりません。

しかしlog(1-x)は微分すると-1/(1-x)だから、分数になって計算が進みそうです。

もう一回微分して

f''(x)=-1/(1+x)^2+1/(1-x)
=(x(x+3))/((1-x)(1+x)^2)

よって増減表を書くと

090311_m3_R.jpg

-1<x<0で減少

x=0の時、極小値f'(0)=0

0<x<1で増加

だから-1<x<1,x≠0で

f'(x)>f'(0)=0

だからf(x)は増加関数で、

0<x<1の時、f(x)>f(0)=0
⇔f(x)/x>0

-1<x<0の時、f(x)<f(0)=0
⇔f(x)/x>0

で題意は成立しました。


f'(x)≧0で増加関数だからって書いても、常識でx≠0でf(x)>f(0)とかわかるから余り神経質に点を引かれるってことはないとは思いますが正確には>の下に=がついているとf(x)≧f(0)って=がついてしまいます。

増加関数って言葉だけでは定義が本によって違ったりするので、数式で

x≠0でf'(x)>0って書くのが明確です。

まあそんなごちゃごちゃ言うより

x    |-1|  |0|  |1|
f'(x)|  |+ |0|+ | |
f(x) |  |↑|0|↑| |

ってf(x)の増減表を書いて
-1<x<0でf(x)<0
0<x<1でf(x)>0
って書いてまうのが簡単で、やっぱり出来るだけ図や絵で表現して欲しいからこっちがお勧めです。


(2)
090311_m4_R.jpg
(1)の

(1-x)^(1-1/x)<(1+x)^(1/x)

から0.99の形が出てくるには
x=0.01とx=-0.01のどっちかぐらいしか代入しようがありません。
0.9999の方にあわせようとx=0.0001とx=-0.0001も考えられるかもしれませんが指数が違うっぽそうなのでやっぱりx=0.01とx=-0.01がまずは考えられます。

x=0.01を代入すると

0.99^(-99)<1.01^100

0.99を作るには両辺0.99^100をかけて

0.99<(0.99×1.01)^100

ここで0.99×1.01=0.9999
って上手いことなってます。

だから

0.99<0,9999^100


次はx=-0.01を代入すると

1.01^101<0,99^(-100)

0.99を作るには両辺0.99^101をかけて

(0.99×1.01)^101<0,99

またここで0.99×1.01=0.9999
って上手いことなってて。

0.9999^101<0.99

でちゃんと
0.9999^(101)<0.99<0.9999^(100)
が示せました。

高校数学の入試問題などの解説

東京大学の入試の数学の過去問の解説




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