受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

同一円周上と内心の問題、京都大学2009年度第2問の別解
あかん肩こってるわ。

この前の京都大学2009年度第2問の同一円周上と内心の問題の別解を解説したい思います。

2009年度の京大の数学は難しいな。


[問題]
平面上の鋭角三角形△ABCの内部(辺や頂点は含まない)に点Pをとり、A'をB,C,Pを通る円の中心、B'をC,A,Pを通る円の中心、C'を A,B,Pを通る円の中心とする。このときA,B,C,A',B',C'が同一円上にあるための必要十分条件はPが△ABCの内心に一致することを示せ。


[解答と解説]
A,B,C,A',B',C'が同一円上⇒Pは内心
の証明で前回は円C'とか一つ一つ考えましたが、今回は二つずつで考えます。

二つずつで考えるともっと中学生の幾何って感じで内心であることがばっちり言えます。

二つ円があって交わってるとすると
共通な弦の垂直二等分線上に二つの円の中心があることになります。

090313_m1.jpg

例えば中心Rの円Rと中心Sの円Sがあって交わってて二つの交点を結んだ共通な弦をDEとすると、
円Rにおいて線分DEの垂直二等分線上に点Rがあります。
円Sにおいて線分DEの垂直二等分線上に点Sがあります。
だから線分DEの垂直二等分線上に点R,Sがあって

RS⊥DE

となります。

これを使っていきます。

090313_m2.jpg

まず、点A,B,C,A',B',C'が同一円周上にあるとする。

△ABCの外心をOとすると、それは点A,B,C,A',B',C'を通る円のことですがOA'=OB'だから

∠OA'B'=∠OB'A'…①

です。

それで円Oと円A'の共通な弦がBCだからさっき書いたように

OA'⊥BC

です。
同じように円Oと円B'の共通な弦がACだから

OB'⊥AC

です。
同じように円A'と円B'の共通な弦がPCだから

A'B'⊥PC

です。

090313_m3.jpg

ここまで分かって図に書き入れていくと、直角三角形が出来て対頂角から一組の鋭角の角度が等しいと、残りの角度も等しいから

∠PCB=∠OA'B'…②

∠PCA=∠OB'A'…③

ってわかります。

①,②,③から

∠PCA=∠PCB

です。

同様に

∠PBC=∠PBA

∠PAB=∠PAC

って示せるからPは内心とわかりました。


後は

Pが内心⇒A,B,C,A',B',C'が同一円上

の方ですが、こっちの方は簡単で

090313_m4.jpg

A,B,C,A'が同一円周上にある

∠BAC+∠BA'C=π
を使います。


Pを内心とすると

∠BPC=π-(∠PCB+∠PBC)


∠PCB=1/2×∠ACB
∠PBC=1/2×∠ABC

だから

∠BPC=π-1/2×(∠ACB+∠ABC)

で∠ACB+∠ABC+∠BAC=πだから

∠BPC=π-1/2×(π-∠BAC)

より
∠BAC=∠BPC-π/2


また点A'は3点B,P,Cを通る円の中心より

中心角は円周角の2倍で、点Pを含まないほうの弧BCに対する円周角は
π-∠BPC
だから
∠BA'C=1/2×(π-∠BPC)

よって
∠BAC+∠BA'C=π
だから
A,B,C,A'は同一円周上にあります。

同様にして

A,B,C,B'が同一円周上にある、A,B,C,C'が同一円周上にあるが示せるから

A,B,C,A',B',C'が同一円周上にあるって示せます。



この問題は解くのには使う知識は非常に簡単ですが、実際解くのは非常に難しいと思います。


だから定理を覚えるだけじゃなくて、解法自体を覚えなければならないわけです。

まあ平面幾何は新課程なので練習するのが難しくて大変やけどな。

それでも、色々な証明を経験して解き方覚えていけば解けるようになると思います。

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