受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

微分積分の問題、東京大学2009年度文系第4問の解説
そうかあ…まあ人間数学やりたくなる時もあるわ。

東京大学2009年度文系第4問,微分積分の問題の解説をします。


[問題]
090315_m1.jpg
2次以下の整式f(x)=ax^2+bx+cに対し
S=∫(0,2)|f'(x)|dx
を考える。

(1)f(0)=0,f(2)=2のときSをaの関数として表せ。

(2)f(0)=0,f(2)=2をみたしながらfが変化するとき、Sの最小値を求めよ。



[解答と解説]
(1)
090315_m2.jpg
まずはf(0)=0とf(2)=2からb,cをaで表します。

f(0)=0からc=0
f(2)=2から4a+2b+c=2でc=0を代入してb=1-2a

これでf(x)=ax^2+(1-2a)x

ってf(x)がaで表せました。

f(0)=0,f(2)=2だからF(x)=f(x)-xを考えると
F(0)=0,F(2)=0
でF(x)は二次以下の整式でx^2の係数がaより
F(x)=ax(x-2)
だから
f(x)=F(x)+x
=ax(x-2)+x
=ax^2+(1-2a)x

とかやる方法もありますが、まあちょっと説明が難しくなるし今回は普通に解いたほうがええと思います。
こういうやり方もあるってことだけ頭に入れといたってくれ。

f(x)=ax^2+(1-2a)x

と決まって微分して

f'(x)=2ax-(2a-1)

∫(0,2)|f'(x)|dxを求めるわけだから0≦x≦2の区間での正負を調べたらいいわけですが、普通にやる方法としては
f'(x)=0とするとa≠0ではx=(2a-1)/(2a)でこれが0≦x≦2の区間の外か中かで場合わけするわけですが、f'(x)=2ax-(2a-1)のxの係数は2aだから直線y=f'(x)はaの正負で傾きが変わるからどっち側が正で負なのかかわってしまいます。

そういう場合わけもまた趣深くていいんですが、今回は直線y=f'(x)は端点で場合わけする方法でやります。
こういう傾きにパラメーターが入ってる場合に便利です。

例えば

直線y=f'(x)が0≦x≦2で0以上⇔f'(0)≧0かつf'(2)≧0

確かに直線はx=0か2のどっちかで最小になるから、両方0以上なら0≦x≦2でf'(x)≧0になります。


こういうのを使っていきます。

実際にやっていくと

f'(0)=1-2a,f'(2)=2a+1


(i)f'(0)≧0かつf'(2)≧0の時

すなわち
1-2a≧0かつ2a+1≧0

-1/2≦a≦1/2
の時、これは直線y=f'(x)のグラフを考えると0≦x≦2でf'(x)≧0だから

S=∫(0,2)f'(x)dx
=f(2)-f(0)
=2
ってわかります。

090315_m3.jpg

(ii)f'(0)≦0かつf'(2)≦0の時
すなわち
a≦-1/2かつ1/2≦aですがこれを満たすaは存在しません。

だから0≦x≦2でf'(x)≦0になるってことはありません。

(iii)f'(0)≧0かつf'(0)≦0

すなわち
a≦-1/2かつa≦1/2
⇔a≦-1/2
の時
直線y=f'(x)のグラフを考えると
f'(x)=0とするとx=(2a-1)/2aですが

0≦x≦(2a-1)/2aでf'(x)≧0

(2a-1)/2a≦x≦2でf'(x)≦0

だから

|f'(x)|=
f'(x)(0≦x≦(2a-1)/2a)
-f'(x)((2a-1)/2a≦x≦2)

090315_m4.jpg

よって
S=∫(0,(2a-1)/2a)f'(x)dx
-∫((2a-1)/2a,2)f'(x)dx
=f'((2a-1)/2a)-f'(0)-(f'(2)-f'((2a-1)/2a))
=2f((2a-1)/2a)-2
=2(a(2a-1)^2/4a^2-(2a-1)(2a-1)/2a)-2
=-1/2a-2a

(iv)f'(0)≦0かつf'(0)≧0
すなわちa≧1/2かつa≧-1/2⇔a≧1/2の時

同様にグラフを考えて
|f'(x)|=
-f'(x)(0≦x≦(2a-1)/2a)
f'(x)((2a-1)/2a≦x≦2)

だから

S=-∫(0,(2a-1)/2a)f'(x)dx
+∫((2a-1)/2a,2)f'(x)dx
=1/2a+2a

(iii)の場合の符号を反対にしたやつになります。

090315_m5.jpg

(i)~(iv)より

S=
-1/2a-2a(a≦-1/2)
2(-1/2≦a≦1/2)
1/2a+2a(1/2≦a)

(2)
1/2≦aの時は
1/2a+2a
って形は相加平均相乗平均の関係の形だから

1/2a+2a≧2√(2a/2a)=2

で2以上になります。

a≦-1/2の時も同じように今度は-1/2a>0,2a>0だから
-1/2a-2a≧2√(2a/2a)=2
と言うように相加平均相乗平均の関係から2以上です。

それで-1/2≦a≦1/2でS=2だったからSは2以上でS=2となるaがあるから最小値2とわかります。

a≦-1/2の時は
S=1/2|a|+2|a|
とも表せるから

a≦-1/2と1/2≦aはまとめて
S=1/2|a|+2|a|
ってあらわせて

S=1/2|a|+2|a|≧2√(2|a|/2|a|)=2

ってやれば少しだけ早いです。


後、最小値の話ですが

S≧2を示して、S=2となるaが存在するとSの最小値は2って言う論法を使ってます。

これも覚えといてください。


まあグラフを書いてもいいんですが、2a+1/2aのグラフは数学2の範囲ではないような気がします。
でも数学3の知識を使って微分して書いても何も問題ありません。
むしろ東大と京大は文系でも数学3Cをやって欲しいらしいです。


それと、
S=2a+1/2a⇔
4a^2-2Sa+1=0

aが存在するには判別式D≧0が必要で

D/4=S^2-4≧0⇔S≦-2,2≦S
でS≧0よりS≧2が必要とわかります。

このやり方も覚えといてください。

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