受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

空間ベクトルの問題、京都大学2009年度理系甲第1問の問1の解説
数学的に言うて、君らはあれやな。


京都大学2009年度理系甲の第1問の問1のベクトルの問題を解説します。

理系乙の第1問の類題やな。

[問題]
正の数aに対してxyz空間で O(0,0,0),A(3,0,0),B(3,2,0),C(0,2,0),D(0,0,a),E(3,0,a),F(3,2,a),G(0,2,a)を頂点とする直方体OABC-DEFGを考える。Dを通り,3つの頂点O,E,Gを含む平面に垂直な直線が辺BC(両端含む)と点Pで交わるとき、aの値とPの座標を求めよ。


[解答と解説]
090316_m1_R.jpg

Dを通り,3つの頂点O,E,Gを含む平面に垂直な直線が辺BC(両端含む)と点Pで交わるを

1,点Pは辺BC上

2,DP⊥平面OEG

って条件に読みかえます。

1,点Pは辺BC上より

P(t,2,0)(0≦t≦3)とおけて

2,DP⊥平面OEG⇔OG⊥DPかつOE⊥DP
⇔OG→・DP→=0かつOE→・DP→=0

だから

OG→=(0,2,a),OE→=(3,0,a)

DP→=OP→-OD→
=(t,2,0)-(0,0,a)
=(t,2,-a)

って求めておいて

OG→・DP→=0

(0,2,a)・(t,2,-a)=0

4-a^2=0

でa>0からa=2って決まります。


OE→・DP→=0

(3,0,a)・(t,2,-a)=0

3t-a^2=0

よりt=4/3って決まって

P(4/3,2,0)って求まりました。


ベクトルのかなり典型的な問題で、ベクトルとか学びはじめた人が覚えるのにええ問題って感じやなこれは。

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