受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

三角関数の図形問題、京都大学2009年度理系甲第2問の解説
受験も過ぎ去って、もう僕たちには数学しか残らなかった感じやな。


京都大学2009年度理系甲の三角比の問歳を解説します。

これは京都大学2009年度文系第4問の類題です。

どっちが類題された側か知りませんが。


[問題]
090317_m1.jpg
平面上に三角形△OA_1A_2と点A_3,A_4,A_5,をn=1,2,3に対して
△OA_nA_(n+1)と△OA_(n+1)A_(n+2)が辺OA_(n+1)に関して対称になるようにとる。
△OA_2A_5の面積が△OA_1A_2の面積の正の整数倍となるとき、∠A_1OA_2の値を求めよ。




[解答と解説]
090317_m2.jpg
まず問題がどういう意味なんか考える前に図を書いてみて、問題を理解したってください。
適当に書いてみたら
OA_1=a,OA_2=b,∠A_1OA_2=θとすると0<θ<πですが
OA_2=b,OA_5=a,∠A_2OA_5=3θで

△OA_1A_2=(absinθ)/2,
△OA_2A_5=(absin3θ)/2

ですが、これでは3θがπを越えると何か乳首切り落とされた感覚になります。

πを越えるとsin3θ<0になってまうから,

△OA_2A_5=(ab|sin3θ|)/2

になるわけやねんな。


|sin3θ|はy=sin3θ(0<θ<π)のグラフを書いてみると
|sin3θ|=
sinθ(0<θ≦π/3,2π/3≦θ<2π)
-sinθ(π/3≦θ≦2π/3)

でπ/3と2π/3で正負が切りかわるのがわかります。

これは図形的に考えるよりグラフ的に考えた方が場合わけしやすいかもしれません。


でも

△OA_2A_5=(ab|sin3θ|)/2

って説明するには結局、図形的に考えてるから解答は図形的に場合分けしたように書いたほうが簡潔かもしれません。

(i)0<θ<π/3の時
090317_m3.jpg

この時は0<3θ<πだから、mを正整数として
△OA_1A_2=(absinθ)/2
△OA_2A_5=(absin3θ)/2

m△OA_1A_2=△OA_2A_5

msinθ=sin3θ

sinθ(4(sinθ)^2-(3-m))=0

sinθ≠0だから

(sinθ)^2=(3-m)/4

0<sinθ<(√3)/2だから0<(sinθ)^2<3/4よりm=1と2の場合しかあり得ません。
m=1,2が必要です。
だからm=1,2の場合を調べてみます。

この辺がちょっと整数問題入ってますね。

必要条件から範囲を絞って一つ一つ代入してみるって整数問題でよくあります。

よって0<θ<π/3に注意して
m=1の時,(sinθ)^2=2/4=1/2でsinθ=1/√2だからθ=π/4

m=2の時,(sinθ)^2=1/4でsinθ=1/2だからθ=π/6

090317_m4.jpg

(ii)π/3≦θ<2π/3の時

この時はπ≦3θ<2πだから、mを正整数として
△OA_1A_2=(absinθ)/2
△OA_2A_5=(absin(3θ-π))/2
=-(absin3θ)/2

m△OA_1A_2=△OA_2A_5

msinθ=-sin3θ

sinθ(4(sinθ)^2-(3+m))=0

sinθ>0より



(sinθ)^2=(3+m)/4

で(√3)/2<sinθ≦1だからm=1しかありえません。
m=1が必要です。
π/3≦θ<2π/3に注意して

m=1とすると(sinθ)^2=1からsinθ=1でθ=π/2


(iii)π2/3≦θ<πの時

この時は2π≦3θ<3πだから、mを正整数として
△OA_1A_2=(absinθ)/2
△OA_2A_5=(absin(3θ-2π))/2
=(absin3θ)/2

m△OA_1A_2=△OA_2A_5

msinθ=sin3θ

sinθ(4(sinθ)^2-(3-m))=0

sinθ≠0だから

(sinθ)^2=(3-m)/4

0<sinθ<(√3)/2だから0<(sinθ)^2<3/4よりm=1と2の場合しかあり得ません。
m=1,2が必要です。
だから2π/3≦θ<πに注意して
m=1の時,(sinθ)^2=2/4=1/2でsinθ=1/√2だからθ=3π/4

m=2の時,(sinθ)^2=1/4でsinθ=1/2だからθ=5π/6


(i)~(iii)より
π/6,π/4,π/2,3π/4,5π/6

ちゃんと答えにたどり着くのには若干ややこしいですが、ふにゅ。

京都大学の入試の数学の過去問の解説

高校数学の入試問題などの解説




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