受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

極方程式で表された曲線の長さの問題、京都大学2009年度理系甲の第6問の解説
曲線の長さを求めるには、パイプオルガンの響きやな。


そしたら京都大学理系甲第6問の極方程式で表される曲線の長さの問題を解説します。

[問題]
090318_m1.jpg
極方程式r=1+cosθ(0≦θ≦π)で表される曲線の長さを求めよ。


[解答と解説]
090318_m2.jpg
これはちゃんと数学3Cの問題を練習して公式とか覚えてるかどうかだけの問題ですが極方程式とこれば直交座標のxy平面で

x=rcosθ
y=rsinθ

と表されます。

それで曲線の長さはあるパラメーターtに対してt=aの点からbの点までの曲線の長さは

∫(a,b)√((dx/dt)^2+(dy/dt)^2)dt

で求めます。

√((dx/dt)^2+(dy/dt)^2)は、ベクトル(x,y)の微分(dx/dt,dy/dt)の長さのことです。

パラメーターは何でもよいのでtをxとして

∫(x_1,x_2)√(1+(dy/dx)^2)dx

もよく使いますが、今回は極方程式だからパラメーターはθでいけます、


だからまずはx,yは

x=rcosθ
=(1+cosθ)cosθ
=cosθ+(cosθ)^2

y=rsinθ
=(1+cosθ)sinθ
=sinθ+cosθsinθ

でθで微分して

dx/dθ=-sinθ+2cosθ(-sinθ)
=-sinθ(2cosθ+1)

dy/dθ=cosθ+(cosθ)^2-(sinθ)^2
=cosθ+2(cosθ)^2-1
=(2cosθ-1)(cosθ+1)

で一応グラフはかけます。

別に書く必要はありませんが、普段から書く癖はあった方がええとは思います。


090318_m3.jpg

それで(dx/dθ)^2+(dy/dθ)^2を計算して

(dx/dθ)^2+(dy/dθ)^2
={-sinθ(2cosθ+1)}^2+{(2cosθ-1)(cosθ+1)}^2
=(1-(cosθ)^2)(2cosθ+1)^2+(2cosθ-1)^2(cosθ+1)^2
=(1+cosθ)(1-cosθ)(2cosθ+1)^2+(2cosθ-1)^2(cosθ+1)^2
=(1+cosθ)((1-cosθ)(2cosθ+1)^2+(2cosθ-1)^2(cosθ+1))
=(1+cosθ)((2cosθ+1)^2+(2cosθ-1)^2+cosθ((2cosθ-1)^2-(2cosθ+1)^2))
=(1+cosθ)(8(cosθ)^2+2-8(cosθ)^2)
=2(1+cosθ)


090318_m4.jpg


だから

√((dx/dθ)^2+(dy/dθ)^2)
=√(2(1+cosθ))
=2|cos(θ/2)|

ってよくある形になります。

0≦θ≦πではcos(θ/2)≧0だから|cos(θ/2)|=cos(θ/2)です。

cosθに統一して計算する機械的な方針でやりましたが

dx/dθ=-sinθ-sin2θ

dy/dθ=cosθ+cos2θ

でやったら、もっとスマートやと思います。


求める曲線の長さは

∫(0,π)2|cos(θ/2)|dθ
=∫(0,π)2cos(θ/2)dθ
=[4sin(θ/2)](0,π)
=4

って求まりました。


やっぱ理系なら数学3Cが間に合わなかったって言うのは何か胸が締め付けられるので、しっかり練習したってください。

京都大学の入試の数学の過去問の解説

高校数学の入試問題などの解説




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