受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

不等式の文字を置き換えて証明する方法
ベクトルa→,b→に対して
|a→|-|b→|≦|a→+b→|≦|a→|+|b→|
を証明せよ。

の問題で
|a→+b→|≦|a→|+|b→|
を証明した後に、
|a→|-|b→|≦|a→+b→|
を証明するところで、なんで

a→をa→+b→

b→を-b→

って置くんですか?うへ~。


って言うことですが、これは実数a,bに対して

|a|-|b|≦|a+b|≦|a|+|b|

の証明を思い出してください。


まず|a+b|≦|a|+|b|については

0≦|a+b|
0≦|a|+|b|
だから

|a+b|≦|a|+|b|

|a+b|^2≦(|a|+|b|)^2

(a+b)^2≦(|a|+|b|)^2

で(a+b)^2≦(|a|+|b|)^2を示したらいいから

(|a|+|b|)^2-|a+b|^2
=(|a|+|b|)^2-(a+b)^2
=|a|^2+2|a||b|+|b|^2-a^2-2ab-b^2
=a^2+2|ab|+b^2-a^2-2ab-b^2
=2(|ab|-ab)≧0

と証明できます。


だから実数a,bに対して

|a+b|≦|a|+|b|

が成り立つわけですが、これは任意の実数a,bに対して

|a+b|≦|a|+|b|

が成り立つと言う意味でもあります。


だからa,bは変数とも考えられるわけや。

|x+y|≦|x|+|y|

と書いた方が、ピンときやすいかもしれません。

数学は結構思い込みなところがあります。


だから

|x+y|≦|x|+|y|に

x=a+b

y=-b

を代入すると


|a|≦|a+b|+|-b|

|a|-|b|≦|a+b|


と証明できます。

これは最初はおえ~!?って思いますよね。

それはわかる。

でもこれはよく使うもんやから、この考え方を覚えたってくれ。


だから

ベクトルa→,b→に対して

|a→|-|b→|≦|a→+b→|≦|a→|+|b→|

の問題でも同じように

|a→+b→|≦|a→|+|b→|


0≦|a→+b→|
0≦|a→|+|b→|
だから

|a→+b→|≦|a→|+|b→|

|a→+b→|^2≦(|a→|+|b→|)^2

より
(|a→|+|b→|)^2-|a→+b→|^2
=2(|a→||b→|-(a→・b→))≧0

なので
|a→+b→|≦|a→|+|b→|
が成り立つわけですが、これも任意のベクトルa→,b→に対して成り立つという意味でもあるので

|x→+y→|≦|x→|+|y→|

とでも書けば、x,yを変数に使う習慣上、人間の思い込みでピンときやすいわけですが

x→=a→+b→
y→=-b→

と代入したら

|a→|≦|a→+b→|+|-b→|

|a→|-|b→|≦|a→+b→|

が証明できます。


だから今日は実数a,bに対して
|a+b|≦|a|+|b|
が成り立つって命題は任意の実数a,bに対して
|a+b|≦|a|+|b|
が成り立つって言う意味でもあって、aをa+b、bを-bとか色々な文字に置き換えて証明することがよくあることを覚えたってください。

高校数学の公式や問題の解説




テーマ:算数・数学の学習 - ジャンル:学校・教育

▲ページトップへ
この記事に対するトラックバック
トラックバックURL
→http://kazuschool.blog94.fc2.com/tb.php/250-943589eb
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
▲ページトップへ
プロフィール

Author:わんこら
京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。
東京で数学と物理の講師やってます

わんこら日記で日記とか勉強の仕方とか書いています

わんこら式数学の勉強法

メール
迷惑メールにされる危険性があるので出来るだけ
kazuyuki_ht○guitar.ocn.ne.jp
(○を@にしてください)に送ってください
勉強とかでどんな悩み持ってるかなど色々と教えてくれると嬉しいです。
わんこら式のやり方についてのメールはわんこら式診断プログラムを参考にしてください

詳しいプロフィール

人気blogランキングへ



にほんブログ村 受験ブログへ



学生広場

相互リンクも募集してます。

何かあれば
kazuschool_ht★yahoo.co.jp
かメールフォームからメールください。
(★を@にしてください)

カテゴリー

メールフォーム

名前:
メール:
件名:
本文:

FC2カウンター

リンク

このブログをリンクに追加する

お勧めの参考書、ノート

数学でお勧めのノートは
KOKUYOの無地
理由




センター試験は過去問が大切


チャートが終わったらお勧め
大学への数学1対1シリーズ
数学1


数学A


数学2


数学B


数学3


数学C

月別アーカイブ

ブログ内検索

RSSフィード

最近のトラックバック

ブロとも申請フォーム

この人とブロともになる

  1. 無料アクセス解析