受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

極限の問題、大阪大学2009年度理系前期第1問の解説
最近、暑くなってきたけどまだコタツはしまったら負けなわけや。

今回は大阪大学2009年度理系前期の第1問、極限の問題です。


[問題]
090321_m1.jpg
放物線C:y=x^2上の点A_1(a_1,(a_1)^2),A_2(a_2,(a_2)^2),A_3(a_3,(a_3)^2),…を,A_(k+2)(k≧1)におけるCの接線が直線A_kA_(k+1)に平行であるようにとる。ただし、a_1<a_2とする。三角形A_kA_(k+1)A_(k+2)の面積をT_kとし、直線A_1A_2とCで囲まれた部分の面積をSとする。このとき次の問いに答えよ。
(1)T_(k+1)/T_kを求めよ。
(2)lim(n→∞)∑(k=1~n)T_kをSを用いて表せ。



[解答と解説]
(1)
090321_m2.jpg

T_kを求めるには、
A_kA_(k+1)→=(x_1,y_1)
A_kA_(k+2)→=(x_2,y_2)
の時、T_k=1/2・|x_1y_2-x_2y_1|
と機械的に求める方法がありますが、今回はこっちでもオッケーです。

ただ基本は図形的に考えると、計算が簡単になることが多いので図形的に考えたいと思います。

だから
A_(k+2)から直線A_kA_(k+1)に垂線A_(k+2)H_kを下ろして
A_kA_(k+1)を座標計算で求めて
A_(k+2)H_kは点と直線の距離で求めて
T_k=A_kA_(k+1)・A_(k+2)H_k/2
で求められそうです。

まず
A_kA_(k+1)=√((a_k-a_(k+1))^2+((a_k)^2-(a_(k+1))^2)^2)
=|a_(k+1)-a_k|√(1+(a_k+a_(k+1))^2)

次に直線A_kA_(k+1)を求めて
y=((a_(k+1))^2-(a_k)^2)/(a_(k+1)-a_k)・(x-a_k)+(a_k)^2
=(a_(k+1)+a_k)x-a_ka_(k+1)

(a_(k+1)+a_k)x-y-a_ka_(k+1)=0

それでA_(k+2)とこの直線との距離を求めるわけですが、A_(k+2)は接線が直線A_kA_(k+1)に平行な点だからa_(k+2)はa_kとa_(k+1)で決まるわけですが
直線A_kA(k+1)の傾きは
a_(k+1)+a_k
でy=x^2の微分は
(x^2)'=2x
だから
a_(k+1)+a_k=2a_(k+2)

a_(k+2)=(a_(k+1)+a_k)/2

と求めておきます。
こんな中途半端なところで求めるなってしばかれそうですが。


090321_m3.jpg

それでA_(k+2)H_kは

A_(k+2)H_k=|(a_(k+1)+a_k)a_(k+2)-(a_(k+2))^2-a_ka_(k+1)|/√(1+(a_k+a_(k+1))^2)
=|(a_(k+1)+a_k)^2/2-(a_(k+1)+a_k)^2/4-a_ka_(k+1)|/√(1+(a_k+a_(k+1))^2)
=(a_(k+1)-a_l)^2/4√(1+(a_k+a_(k+1))^2)

だから
T_k=A_kA_(k+1)・A_(k+2)H_k/2
=|a_(k+1)-a_k|^3/8


T_(k+1)=|a_(k+2)-a_(k+1)|^3/8
=|(a_(k+1)-a_k)/2|^3/8

ってT_(k+1)もa_(k+1)とa_kで表して

T_(k+1)/T_k=1/8

ってうまいこと|a_(k+1)-a_k|^3が約分されます。


(2)
090321_m4.jpg

Sを用いて表せってことやけど、Sはa_1とa_2で表されるはずです。

この求め方はよくある形で、直線A_1A_2とC:y=x^2の交点はA_1とA_2やから

直線A_1A_2をy=px+qとおくと

px+q-x^2=-(x-a_1)(x-a_2)

になるはずです。

だから

S=-∫(a_1,a_2)(x-a_1)(x-a_2)dx
=(a_2-a_1)^3/6


次はT_kを求めるにはT_(k+1)/T_k=1/8から公比1/8の初項T_1=|a_2-a_1|^3/8の等比数列だから
T_k=|a_2-a_1|^3/8・(1/8)^(k-1)
=3S/4・(1/8)^(k-1)

∑(k=1~n)T_k=3S/4・(1-(1/8)^n)/(1-(1/8))
だから
lim(n→∞)∑(k=1~n)T_k=3S/4・1/(1-(1/8))
=6S/7

なんか、何となく求まるって感じの問題やな。

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