受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

一次変換の問題、大阪大学2009年度理系第2問の解説
今日は大阪大学2009年度理系の第2問の一次変換の問題を解説します。

これは恋しかるらむ問題です。



[問題]
090323_m1.jpg
行列A=1/2(cos(π/3) -sin(π/3) sin(π/3) cos(π/3))の表す1次変換をfとする。
点P(16√3,16)をとり、P_1=f(P),P_(n+1)=f(P_n)(n=1,2,3,…)とする。正の整数kに対して、次の条件をみたす領域をD_kとする。
x<0,y<0,(√3)x+y≦-2^-k
このときD_kに含まれるP_nの個数をkで表せ。


((a b c d)は行列
a b
c d
のこと。)


[解答と解説]
090323_m2.jpg

A^nは点を原点を中心にπ/3回転させて距離が1/2倍になる変換やから、それは別にええねんけど言葉で書くのがしんどいなら

P_n=A^n(16√3 16)
=32A^n(cos(π/6) sin(π/6))
=32(1/2)^n(cos(πn/3+π/6) sin(πn/3+π/6))
=2^(5-n)(cos(πn/3+π/6) sin(πn/3+π/6))

でええかな。

それで、D_kはx<0,y<0,(√3)x+y≦-2^-k
ですがまず回転だけ考えるとP_nがD_kに入るには
(cos(πn/3+π/6) sin(πn/3+π/6))がx<0,y<0であることが必要です。

もちろんこれだけではいけませんが、この必要条件でかなり絞れます。

(cos(πn/3+π/6) sin(πn/3+π/6))を図示するとx<0,y<0になるにはmを自然数として
n=6m-3
の時なのがわかります。

090323_m3.jpg

となるとn=6m-3の時、P_nがD_kに入るにはOP_nが原点と直線(√3)x+y+2^-k=0との距離より長いか等しければオッケーなことわかります。

OP_n=2^(5-n)

原点と直線(√3)x+y+2^-k=0との距離は
2^-k/√(3+1)=2^(-k-1)
だから

2^(5-n)≧2^(-k-1)
であればオッケーです。

これを解いていくとlog_2をとって

5-n≧-k-1

mに直して

8-6m≧-k-1

m≦(k+9)/6


これを満たすmの個数がD_kに含まれるP_nの個数だから
m=1,2,3,…,((k+9)/6の整数部分)
より
答えは(k+9)/6の整数部分、つまり(k+9)/6を越えない最大の整数ですがこれはガウス記号を用いて

[(k+9)/6]と表されるから

[(k+9)/6]個

でオッケーやと思います。


まあここでkが6の倍数とか、6で割ると1余る数とか場合わけしてうへ~ってわけわからんことなって横の人に消しゴム投げつけて退場させられた人もいるかもしれませんが。

そういうことならないためにも[(k+9)/6]個って書き方も覚えたって下さい

大阪大学の入試の数学の過去問の解説

高校数学の入試問題などの解説




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