受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

整数問題、大阪大学2009年度理系の第3問の解説
整数問題はホトトギスで言うたら、しばかれる側の問題なんやろな。

大阪大学2009年度理系第3問です。


[問題]
αを2次方程式x^2-2x-1=0の解とするとき、(a+5α)(b+5cα)=1をみたす整数の組(a,b,c)をすべて求めよ。ただし、必要ならば√2が無理数であることは証明せずに用いてよい。


[解答と解説]
x^2-2x-1=0
の解は
x=1±√2
です。

だから
(a+5α)(b+5cα)=1
にα=1±√2を入れて、
(√2の係数)=0
(有理数の部分)=0
ってやるのがお決まりで、別にそれでええねんけど、ただちょっとそれは卵を電子レンジに入れたら爆発するようなもんです。


どういう意味やねん。


α^2-2α-1=0

α^2=2α+1
だから(a+5α)(b+5cα)=1に代入していくとαの1次式になります。

こういうやり方を次数下げとかよく言いますね。

それでα=1±√2で√2が無理数だからαも無理数になるから

αの係数=0
定数部分=0

で式を立てます。

有理数+無理数は無理数とかは証明しなくていいんか?ってちょっと思いそうですが、
α-1=±√2
だからαが有理数なら左辺は有理数で矛盾するので、αが無理数なのはほぼ自明です。

まあここは、あんまり神経質にやらなくて恐らく大丈夫です。


だからまず解答の前半は


x^2-2x-1=0
よりα=1±√2だから√2は無理数よりαも無理数で
α^2-2α-1=0

α^2=2α+1

(a+5α)(b+5cα)=1

25cα^2+5(b+ca)α+ab-1=0

25c(2α+1)+5(b+ca)α+ab-1=0

5(b+ca+10c)α+ab-1+25c=0

αは無理数より

b+ca+10c=0…①
ab-1+25c=0…②


後はこの①と②を満たす整数a,b,cを求めるわけですが、こういうのはまずは文字を消去してみるもんです。
どの文字を消去したらええかと言うとbが簡単そうです。

aやcを消去すると…なんか…もう…ってなります。


①×a-②:
(ab+ca^2+10ac)-(ab-1+25c)=0

ca^2+10ac-25c+1=0

これはもう因数分解して

(因数分解された文字式)=(整数)

の形にして解くパターンです。


式を見るとaの二次式ですが、cで見ると1次式です。

因数分解するには次数が低いほうにあわせるのがコツでした。


だから

c(a^2+10a-25)+1=0

c(a^2+10a-25)=-1

で(因数分解された文字式)=(整数)になって、しかも右辺が-1だから

c=1
a^2+10a-25=-1



c=-1
a^2+10a-25=1

しかありえません。
cかa^2+10a-25の片方が2とか3とかなると、もう片方は-1/2とか-1/3とか分数になっています。
c=1
a^2+10a-25=-1


a^2+10a-25=-1⇔a^2+10a-24=0
⇔(a+12)(a-2)=0
よりa=-12,a=2

b+ca+10c=0からb=-ca-10cなので
a=-12の時b=2
a=2の時b=-12

(a,b,c)=(-12,2,-1),(2,-12,-1)


c=-1
a^2+10a-25=1
の時は
a^2+10a-25=1⇔a^2+10a-26=0
⇔a=-5±√51
だからaは整数になりません。


これを解答にしていって


①×a-②:
(ab+ca^2+10ac)-(ab-1+25c)=0

c(a^2+10a-25)=-1

cと(a^2+10a-25)は整数より

(c,a^2+10a-25))=(1,-1),(-1,1)

(c,a^2+10a-25))=(1,-1)の時
a^2+10a-25=-1

(a-2)(a+12)=0
より①から
(a,b)=(2.-12),(-12,2)

(c,a^2+10a-25))=(-1,1)の時
a^2+10a-25=1⇔a^2+10a-26=0
よりa=-5±√51
aは整数より不適

したがって
(a,b,c)=(2,-12,1),(-12,2,1)


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