受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

ベクトルの問題、大阪大学2009年度理系第4問の解説
ベクトルの問題ってよう考えたら、棚なんやろな。

またわけわからんこと言いだしたでこれ。

大阪大学2009年度理系第4問のベクトルの問題を解説します。


[問題]
090325_m1.jpg
平面上の三角形OABを考え、辺ABの中点をMとする。
a→=OA→/|OA→|,b→=OB→/|OB→|
とおき、点Pをa→・OP→=-b→・OP→>0であるようにとる。直線OPにAから下ろした垂線と直線OPの交点をQとする。

(1)MQ→とb→は平行であることを示せ。

(2)|MQ→|=(|OA→|+|OB→|)/2であることを示せ。



[解答と解説]
数学は考える前に図を書くのコツっていつも言ってますが、ベクトルの問題では考える前に式にしてみ?って感じが多いです。

式にしてみ?って感じです。

式にしてみ?

ほら、式にしてみ?


今はよ解説せい!ってしばかれそうになった。

090325_m2.jpg

a→とb→を基本ベクトルにあらわしていきます。
単位ベクトルやから|a|=1,|b|=1に注意しとったってください。

MQ→=OQ→-OM→

でOM→=(OA→+OB→)/2
=(|OA→|a→+|OB→|b→)/2
ですが、後はOQ→をa→,b→であらわすことを考えます。

OP→・a→=-OP→・b→
とか内積の条件は
OP→=αa→+βb→
とおくとだいたい上手くいって

OP→・a→=-OP→・b→

OP→・(a→+b→)=0

(αa→+βb→)・(a→+b→)=0

α+(α+β)a→・b→+β=0

(α+β)(1+a→・b→)=0

0<∠AOB<π
だから
-1=-|a→||b→|<a→・b→<|a→||b→|=1

より

1+a→・b→>0だから
α+β=0

よって

OP→=αa→+βb→
=β(b→-a→)


点Qは直線OP上の条件から

OQ=kOP→(kは実数)

って置けますが、OP→=β(b→-a→)だから

OQ=k(b→-a→)(kは実数)

って置いたほうが便利です。

090325_m3.jpg

AQ⊥OPの条件から

AQ→・OP→=0

(OQ→-OA→)・(b→-a→)=0

(kb→-ka→-|OA|a→)・(b→-a→)=0

(kb→-(k+|OA→|)a→)・(b→-a→)=0

2k+|OA→|-(2k+|OA→|)a→・b→=0

(2k+|OA→|)(1-a→・b→)=0

ここでも
-1=-|a→||b→|<a→・b→<|a→||b→|=1
より
1-a→・b→>0だから

2k+|OA→|=0

k=-|OA→|/2


これで

OQ→=|OA→|(a→-b→)/2

と表されて、

MQ→=OQ→-OM→
=|OA→|(a→-b→)/2-(OA→+OB→)/2
=-(|OA→|+|OB→|)/2

だから
MQ→//b→で|MQ→|=(|OA→|+|OB→|)/2


こうやって、ベクトルは考える前にまず条件をどんどん式に置き換えて機械的に計算するのがコツです。

まあ必ずしもそういうわけではなく図形的にやるべき問題もありますが、まずはこの機械的に計算できるようになっておくのがベクトルでは基本だと思います。

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