受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

積分と極限の問題、大阪大学2009年度理系第5問の解説
誰がここで積分せんかった?

またわけわからんこと言うてるところで、大阪大学2009年度理系第5問の積分と極限の問題を解説しますわ。


[問題]
090326_m1.jpg
n=1,2,3,…に対して,y=log(nx)と(x-1/n)^2+y^2=1の交点のうち第1象限にある点を(p_n,q_n)とする。

(1)不等式1-(q_n)^2≦(e-1)^2/n^2を示すことにより、lim(n→∞)q_n=1を証明せよ。ただし、eは自然対数の底である。
(2)S_n=∫(1/n,p_n)log(nx)dxをp_nで表せ。
(3)lim(n→∞)nS_nを求めよ。


[解答と解説]
(1)
090326_m2.jpg
(p_n,q_n)はy=log(nx)と(x-1/n)^2+y^2=1の交点ですが、p_n=…,q_n=…って具体的にあらわそうとするようなもんなら、横の受験生にしばかれます。

だから
q_n=log(np_n)…①
(p_n-1/n)^2+(q_n)^2=1…②
p_n>0,q_n>0
って書くと便利やと思います。

最後の、p_n>0とq_n>0は第一象限にあるってことやで。

はい、いいですね。

p_nを消去していかなあかんとこやけど、まず①からq_n=log(e^(q_n))だからlogの中をとって
e^(q_n)=np_n
ってなるわけや。

だからp_n=e^(q_n)/nってp_nがq_nであらわせました。
これを②に代入すると

((e^q_n-1)/n)^2+(q_n)^2=1

1-(q_n)^2=((e^q_n-1)/n)^2

で1-(q_n)^2≦(e-1)^2/n^2になんかよく似てます。

だから
q_n>0やからe^q_n-1>0でさらに同値変形すると

((e^q_n-1)/n)^2≦(e-1)^2/n^2

e^q_n-1≦e-1

e^q_n≦e

q_n≦1
を示せたらええわけや。

でもこれは②は円の方程式やからq_nがとり得る範囲はかなり限られいて
1-(q_n)^2=(p_n-1/n)^2≧0
より
1-(q_n)^2≧0
でq_n>0から
0<q_n≦1
やから
((e^q_n-1)/n)^2≦(e-1)^2/n^2が成立することがわかります。

だから

0≦1-(q_n)^2≦(e-1)^2/n^2

でlim(n→∞)(e-1)^2/n^2=0

やから挟みうちの原理からlim(n→∞)(1-(q_n)^2)=0でq_n>0やから、lim(n→)q_n=1って示せます。

なんか知らんけど、出来たって感じの問題やな。


(2)

090326_m3.jpg

単純に計算するだけやなこれは。
log(x)の不定積分はxlog(x)-x+C(Cは積分定数)って言うのは部分積分で求めたらそらええねんけど、覚えてた方が正確に早くできるから
log(x)の積分はxlog(x)-xを何となく覚えてもらって

S_n=∫(1/n,p_n)log(nx)dx
=∫(1/n,p_n)(log(nx))/n・(nx)'dx
=1/n・[(nx)log(nx)-nx](1/n,p_n)
=p_nlog(np_n)-p_n+1/n

で上手に出来ました。


まあ置換積分で考えなくても、log(nx)=log(n)+log(x)やからこれを積分してもオッケーです。

(3)最後はもう計算するだけで
lim(n→∞)nS_n=lim(n→∞){np_nlog(np_n)-np_n+1}
=lim(n→∞)(e^(q_n)・q_n-e^(q_n)+1)
=e・1-e+1
=1

(1)でlim(n→∞)q_n=1を求めるからp_nをq_nにするねん。

だから、①のnp_n=e^(q_n)を使ってq_nに置き換えてやってください。

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高校数学の入試問題などの解説




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