受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

微分の問題、大阪大学2009年度文系の第1問の解説
今日は暑くて汗だらだら出るということは。


意味わからんところで終わるなって話しやなこれ。

大阪大学2009年度の文系の第1問の解説いきます。


[問題]
090327_m1.jpg
曲線C:y=x^3-kx(kは実数)を考える。C上に点A(a,a^3-ka)(a≠0)をとる。次の問いに答えよ。
(1)点AにおけるCの接線をl_1とする。l_1とCのA以外の交点をBとする。Bのx座標を求めよ。
(2)点BにおけるCの接線をl_2とする。l_1とl_2が直交するとき、aとkがみたす条件を求めよ。
(3)l_1とl_2が直交するaが存在するようなkの値の範囲を求めよ。



[解答と解説]
(1)
090327_m2.jpg

l_1の方程式を求めて、Cとの交点を求めていきます。

l_1の方程式はオッケーかな?

はい、オッケーやな。

x=aにおける接線l_1の求め方はf(x)=x^3-kxとおくと
f'(x)=3x^2-k
だから
l_1:y=f'(a)(x-a)+f(a)
=(3a^2-k)(x-a)+a^3-ka
=(3a^2-k)x-2a^2

それでC:y=f(x)との交点のx座標を求めるにはy消去すればいいわけですが、二つの関数の差を考えると交点だけでなく大小関係までわかるので他の問題に応用がききやすいです。
まあこの問題は別に大小関係はいらんからええねんけどな。

C-l_1=x^3-kx-{(3a^2-k)x-2a^2}
=x^3-3a^2x+2a^2
=(x-a)^2(x+2a)

l_1はCにx=aで接するから(x-a)^2で因数分解できることを考えると簡単に出来ると思います。

だから交点のx座標はx=a,-2aでa≠0だからa≠-2aと一応違う値であることを言及しておいてBのx座標はx=-2aになります。


(2)
2直線が直交する時は、
傾きがそれぞれm,nの時はmn=-1とx=定数,y=定数の時です。

この問題ではl_1の傾きが0の時は、l_2はx=定数の形の直線にならなあかんわけやけど、l_2はx=-2aにおける接線の傾きのことでf'(-2a)=12a^2-kやからx=定数の形になることはありえへんねん。

だから
f'(a)f'(-2a)=-1
の場合だけでよくて

(3a^2-k)(12a^2-k)=-1

36a^4-15a^2k+k^2+1=0

(3)
090327_m3.jpg

l_1とl_2が直交するaが存在するようなkの値の範囲を求めよ。

こんな書き方されると、36a^4-15a^2k+k^2+1=0を満たすaが存在すればええことがすぐにわかって親切な書き方やな。

ただl_1とl_2が直交するようにaが動く時kの範囲を求めよって書かれたら、
k=15a^2±√(81a^4-4)/2
ってaを動かそうとして、うへ~ってわけわからんことなって横の受験生に消しゴム泣けつけることになります。

そこでaを動かすんじゃなくて、aが存在するようなkの値の範囲を求めるって考えると逆像法とか逆手流とかよく言うねんけど簡単にkの範囲が求まります。


この問題は元々そうやって逆像法の書き方をしてるから、自然と定石が使いやすく誘導されてるねん。

36a^4-15a^2k+k^2+1=0…?を満たすaが存在するようなkの範囲を求めればよくて、a^2=Xとおくと
36X^2-15kX+k^2+1=0…?
でa≠0だからX=a^2>0より?がX>0で解を持てばええことになります。

二次関数の解の配置問題やってやつやな。

だから
g(X)=36X^2-15kX+k^2+1
とおくとY=g(X)がX>0の部分でX軸と交わるような条件を求めたらええってことなります。

なんか色々とややこしい場合わけをせなあかん感じがするけど、キーとなるX=0の値が
g(0)=k^2+1>0
と正になるから、後は判別式D≧0と軸5k/24>0の場合だけです。

D≧0⇔225k^2-144k^2-144≧0
⇔81k^2-144≧
⇔(3k-4)(3k+4)≧0
⇔k≦-4/3,4/3≦k

で5k/24>0は単にk>0だからあわせて

k≧4/3であればオッケーで、この時36a^4-15a^2k+k^2+1=0を満たすaが存在する、つまりはl_1とl_2が直交するaが存在します。

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