受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

ベクトルの問題、大阪大学2009年度文系の第2問の解説
今、アサガオに水をやってたら、ツタが手に絡み付いてきて…の気分や。


ええからはよ解説しろ!

大阪大学2009年度文系の第2問の解説。



[問題]
090328_m1.jpg
平面上の3角形OABを考え
a→=OA→,b→=OB→,t=|a→|/2|b→|
とおく。辺OAを1:2に内分する点をCとし、OD→=tb→となる点をDとする。AD→とOB→が直交し、BC→とOA→が直交するとき、次の問いに答えよ。
(1)∠AOBを求めよ。
(2)tの値を求めよ。
(3)ADとBCの交点をPとするとき、OP→をa→,b→を用いて表せ。



[解答と解説]
(1)
090328_m2.jpg

まさにベクトルの定石中の定石的な問題で、しっかりベクトルの解法を一通りマスターしていれば確実に点になります。

まず条件をひとつひとつ式にあらわしていきます。
辺OAを1:2に内分する点をCよりOC=1/3・a→

AD→とOB→が直交よりAD→・OB→=0で始点をOに揃えていって
(OD→-OA→)・OB→=0

(tb→-a→)・b→=0

|a→||b→|/2=a→・b→…①

BC→とOA→が直交よりBC→・OA→=0で始点をOに揃えていって
(OC→-OB→)・OA→=0

(1/3・a→-b→)・a→=0

|a|^2/3=a→・b→…②

って機械的に式にしていくねん。


これでa→・b→=|a→||b→|cos∠AOBだから①より
|a→||b→|cos∠AOB=|a→||b→|/2

cos∠AOB=1/2
より∠AOB=π/3

(2)①,②より

|a→||b→|/2=|a|^2/3

|b→|=2|a→|/3

でt=|a→|/2|b→|=3/4


よし、ここまでええみたいやな。

(3)
090328_m3.jpg

これこそ、あれやな。
テフロン加工みたいなもんやな。

どういう意味やねん。


もうこんなん身体で覚えとくんがコツなわけや。

点PはBC上よりαを実数として

OP→=αOB→+(1-α)OC→
=αb→+(1-α)/3・a→…③

点PはAD上よりβを実数として

OP→=βOA→+(1-β)OD→
=βa→+3(1-β)/4・b→…④

と二通りにあらわして、a→とb→は一次独立だからとかお決まりの言葉を書いてa→とb→の係数を比較して

a→の係数
α=3(1-β)/4

b→の係数
(1-α)/3=β

これを解いて

α=2/3
β=1/9

でこれをどっちでもいいから代入して

OP→=1/9・a→+2/3・b→


これはぜひやり方自体を暗記して、何も考えずに解けるようになったってください。

大阪大学の入試の数学の過去問の解説

高校数学の入試問題などの解説




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