受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

確率の問題、大阪大学2009年度文系の第3問の解説
今日はもうやめとこ思ってたけど、なんもやることないから書いてもた。

数学から逃れられん運命なんかもしれんな。

大阪大学2009年度文系の第3問の問題


[問題]
090329_m1.jpg
次のような、いびつなさいころを考える。1,2,3の目が出る確率はそれぞれ1/6,4の目が出る確率はa,5,6の目が出る確率はそれぞれ1/4-a/2である。ただし,0≦a≦1/2とする。
このさいころを振ったとき、平面上の(x,y)にある点Pは、1,2,3のいずれかの目が出ると(x+1,y)に、4の目が出ると(x,y+1)に、5,6のいずれかの目が出ると(x-1,y-1)に移動する。原点(0,0)にあった点Pが、k回さいころを振ったときに(2,1)にある確率をp_kとする。

(1)p_1,p_2,p_3を求めよ。
(2)p_6を求めよ。
(3)p_6が最大になるときのaの値を求めよ。



[解答と解説]
数直線上で最初原点にあった点Pが、奇数が出たら正方向へ1移動、偶数が出たら負方向へ1移動みたいな問題の二次元版です。

そしたらもう、いいですね。


そうかあ、お母さんが病気で寝てるからわからへんか。


090329_m2.jpg

1,2,3の目が出る確率は3×1/6=1/2で1,2,3の目が出る回数をs回とおきます。
4の目が出る確率はaで、4の目が出る回数をt回とおきます。
5,6の目が出る確率は2×(1/4-a/2)=1/2-aで5,6の目が出る回数をu回とおきます。

それで全部でk回やから
s+t+u=k
で1,2,3の目が出たらx正方向に1、
4の目が出たらy正方向に1、
5,6の目が出たらx負方向に1,y負方向に1移動するから

(s-u,t-u)

移動したことになって、(2,1)に移動するには

s-u=2
t-u=1
s+t+u=k



s=k/3+1
t=k/3
u=k/3-1

やから、s,t,uが存在するにはkが3の倍数の時なわけや。


だからp_kは反復試行の確率を考えて

kが3の倍数でないときは0
kが3の倍数の時k!/s!t!u!・(1/2)^s・a^t・(1/2-a)^u
(s+t+u=k)

ってやるのがお決まりなわけやな。


数直線上を移動するやつの解法を覚えてたら、スムーズに出来ると思います。


(1)
090329_m3.jpg
p_1とp_2は3の倍数ちゃうから0
p_3はs=2,t=1,u=0で
p_3=3!/2!1!0!・(1/2)^2・a^1・(1/2-a)^0=3a/4

もう一瞬ですわ。

お母さんも寝床で喜んでるわ。


(2)p_6はs=3,t=2,u=1の時で
p_6=6!/3!2!1!・(1/2)^3・a^2・(1/2-a)^1
=15a^2(1-2a)/4

(3)これえはp_6がaの三次関数やから微分する以外に道がありません。
もうhave no choice but to 微分や。

そんなキャラじゃなかったような。


p_6'=15(2a-6a^2)/4
=-15a(3a-1)/2

それで増減表を書くわけや。

090329_m4.jpg

グラフを書いてa=1/3で最大になるってことがわかります。
まあグラフ書かなくても増減表でわかるからええけどな。


そしたら、お母さんによろしく言うといてくれ。

お母さんを…大切にするんやぞ。

大阪大学の入試の数学の過去問の解説

高校数学の入試問題などの解説




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