受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

熱の問題、東京大学2009年度物理の第3問の解説
今日は物理で許してくれ。

なんでもするから。


東京大学2009年度理系第3問の熱の問題の解説。

[解答]
常温の水は液体(以後単に水という)と気体(水蒸気)の2つの状態をとることができる。どちらの状態をとるかは温度と圧力により、図3-1に示すように定まる。たとえば、水をシリンダーに密封して温度を30℃、圧力を7000Paにしたときは水であり、熱を与えて、温度や圧力を多少変えても全部が水のままである。一方、同じ30℃で、圧力を1000Paにしたときはすべて水蒸気である。ただし、図3-1のB点,C点のような境界線上の温度と圧力のときは水と水蒸気が共存できる。逆に、水と水蒸気が共存してるときの温度と圧力はこの境界線(共存線)上の値をもつ。温度を与えたときに定まる共存時の圧力を、その温度での蒸気圧という。一定の圧力で共存している水と水蒸気に熱を与えると、温度は変わらずに、熱に比例する量の水が水蒸気に変わり、全体の体積は膨張する。単位物質量の水を水蒸気に変化させるために必要なエネルギーを蒸発熱と呼ぶ。
090401_p1.jpg
このことを参考にして、図3-2に示す装置のはたらきを調べよう。断面積A[m^2]で下端を閉じたシリンダーを鉛直に立てて、物質量n[mol]の水を入れ、質量m_1[kg]のピストンで密閉し、その上に質量m_2[kg]のおもりをのせる。シリンダーの上端を閉じてピストンの上側を真空にする。ピストンはシリンダーと密着してなめらかに動くことができるが、シリンダーの上方にはストッパーが付いていて、ピストンの下面の高さがL[m]になるところまでしか上昇しないようになっている。シリンダーの底にはヒーターが置かれていて、外部からの電流でジュール熱を発生できるようになっている。以下の過程を通じて、各瞬間の水と水蒸気の温度はシリンダー内の位置によらず等しいものとする。また、圧力の位置による違いは無視する。

Ⅰ 20℃での蒸気圧をp_1[Pa],30℃での蒸気圧をp_2[Pa]と記す。ピストンのみでおもりをのせないときに内部の圧力がp_1で、ピストンにおもりをのせたときにp_2になるようにしたい。m_1とm_2を求めよ。重力加速度の大きさをg[m/s^2]とする。

Ⅱ 圧力p_2での20℃の水のモル体積(1mol当たりの体積)をv_1[m^3/mol]とする。この温度でおもりをのせた状態でのシリンダー内の水の深さd[m]を求めよ。なお、ヒーターの体積は無視できる。

Ⅲ 装置全体を断熱材で覆い、ピストンにおもりをのせたまま、はじめ20℃であった水をヒーターでゆっくりと30℃になるまで加熱する。このとき、水の状態は図3-1のA点からB点に移る。20℃から30℃までの水の定圧モル比熱は温度によらず、c[J/(mol・K)]であるとする。水を30℃にするためにヒーターで発生させるジュール熱Q_1[J]を求めよ。なお、シリンダー、ピストン、おもり、断熱材など、水以外の物体の熱容量は無視できるものとする。

Ⅳ 30℃の水をさらにヒーターでゆっくりと加熱する。このときの温度と圧力はB点に留まり、水は少しずつ水蒸気に変化していく。図3-3のようにピストンがストッパーに達したときにも水が残っていた。B点での水のモル体積v_2[m^3/mol]とB点での水蒸気のモル体積v_3[m^3/mol]を用いて、このときの水蒸気の物質量x[mol]を求めよ。

Ⅴ 30℃の水を、その温度での蒸気圧の下で、水蒸気にするために必要となる蒸気圧をq[J/mol]とする。問Ⅳの過程で、ピストンがストッパーに達するまでに、ヒーターで発生させるジュール熱Q_2[J]を求めよ。

Ⅵ ピストンがストッパーに達したときにヒーターを切り、おもりを横にずらして、ストッパーにのせる。つぎにまわりの断熱材を取り除き、18℃の室内で装置全体がゆっくりと冷えるのを待つ。

(1)時間の経過(温度の低下)とともに、圧力がどのように変化するか述べよ。
(2)時間の経過(温度の低下)とともに、ピストンはストッパーに接した位置と水面に接した位置の間でどのように動くか、動く場合にはその速さ(瞬間的か、ゆっくりか)を含めて述べよ。

090401_p2.jpg


[解答と解説]

090401_p3.jpg

ピストンの力のつりあいの式を考えて内部の圧力による力とピストンの重力が等しいから
おもりを乗せてない状態は内部の圧力はp_1で
m_1g=Ap_1
より
m_1=Ap_1/g

おもりを乗せてる状態は内部の圧力はp_2で
(m_1+m_2)g=Ap_2
より
m_2=Ap_2/g-m_1
=(p_2-p_1)A/g


A点の状態は図3-1のグラフから全部水になっていて水はnmolで体積はnv_1になるから
Ad=nv_1
より
d=nv_1/A


これはそのまんまやけどnmolの水を30-20=10K上昇したわけやから
Q_1=10nc

cの単位がJ/(mol・K)やから温度変化と物質量をかけたらええことがわかりやすいわけやな。

090401_p4.jpg

Ⅵ 水蒸気xmolだから水蒸気の体積はxv_3、水蒸気がxmolで水と水蒸気全部でnmolだから水はn-xmolで体積は(n-x)v_2になります。
それで全体の体積はALやから
xv_3+(n-x)v_2=AL
より
x=(AL-nv_2)/(v_3-v_2)

Ⅴ 30℃での蒸気圧の下で、水蒸気にxmolなるわけやから
Q_2=xq
=(AL-nv_2)q/(v_3-v_2)


(1)最初おもりを乗せていたから、圧力はp_2からはじまって、おもりを取り除くと圧力よりピストンの重力の方が軽いからストッパーにピストンが抑えられてる状態でしばらくは体積が一定のまま温度が下がっていねん。
だから、圧力が下がっていきます。

どこまで下がるかと言うとピストンの重力とつりあう時、つまり圧力がp_1までです。
そこからずっと水蒸気が全部水になろうともピストンを支えなあかんから圧力はp_1のままです。

だから

圧力はp_2からp_1まで少しずつ減少して、その後はp_1で一定になる。


(2)このピストンがストッパーに接した位置から水に接した位置まで動くのは圧力がp_1一定のときのことで、この時、熱は少しずつ逃げるから水蒸気が少しずつ水になっていってピストンはつりあいを保ったまま少しず下がっていきます。
それで全部水になるとピストンは水面に接します。

だから

最初ピストンは圧力がp_1になるまでストッパーに接していて、少しずつ放熱されるから水蒸気がすべて水になるまでピストンはつりあいを保ったままゆっくりと下降し水面に接する。
その後は、水面に接したまま。


と言うように文章を読むのが大変な問題やな。

東京大学の入試の物理の過去問の解説




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