受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

微分の問題、神戸大学2009年度理系第1問の解説
あかん、肋骨が三本折れた時の気分や。

神戸大学2009年度理系第1問の解説


[問題]
090402_m1.jpg
a,bは実数でa>b>0とする。区間0≦x≦1で定義される関数f(x)を次のように定める。
f(x)=log(ax+b(1-x))-xlog(a)-(1-x)log(b)
ただし、logは自然対数を表す。このとき、以下のことを示せ。
(1)0<x<1に対してf''(x)<0が成り立つ。
(2)f'(c)=0をみたす実数cが、0<c<1の範囲にただ1つ存在する。
(3)0≦x≦1をみたす実数xに対して、
ax+b(1-x)≧a^xb^(1-x)
が成り立つ。


[解答]
(1)
090402_m2.jpg

微分するのがコツやな。
コツと言うより微分する以外に道はないねんけど。
f'(x)=(a-b)/(ax+b(1-x))-log(a)+log(b)
さらに微分して
f''(x)=-(a-b)^2/{ax+b(1-x)}^2
でa>bより-(a-b)^2<0だから
-(a-b)^2/{ax+b(1-x)}^2<0
つまり
f''(x)<0

対数関数の微分と分数関数の微分はややこしいですが、たくさん練習したってください。

(2)
f'(c)=0をみたす実数cが、0<c<1の範囲にただ1つ存在する。
こんな書き方をされると、平均値の定理を使うんちゃうか?って思います。
思えなかった人は、この機会に覚えてください。

まあでも平均値の定理なんかあんま使うことないから、ちょっと難しいといえば難しいんかもしれへんけどな。

0<c<1だから、0≦x≦1この区間で使います。

平均値の定理を使う時は正確には、
f(x)は0≦x≦1で連続で0<x<1で微分可能だから平均値の定理より…
って使います。
しかし大学の試験ではないので、高校で扱う関数はたいがい連続で微分可能だからそこまで詳しく書かなくても大丈夫だとは思います。

それで平均値の定理より

(f(1)-f(0))/(1-0)=f'(c)
0<c<1
となるcが存在します。

それで
f(1)=log(a)-log(a)=0
f(0)=log(b)-log(b)=0
よりちゃんと
f'(c)=0
ってなります。

これでcが存在することは言えたけど、ただ一つって言うのが存在できてません。

後はこれを証明せなあかんわけやな。

090402_m3.jpg

だいたい前問の(1)がヒントになってるから、0<x<1でf''(x)<0よりf'(x)は減少関数です。
y=f'(x)のグラフを書くと減少していってx軸と交わって減少していきます。

だからf(x)はx軸と1点で交わるから、
f'(c)=0,0<c<1
となるcはただ一つってことがわかります。

まあグラフ書くと説明は明確やな。


(3)
090402_m4.jpg

y=f'(x)は減少関数だから
0≦x<cでf'(x)>0,
x=cでf'(x)=0
c<x≦1でf'(x)<0
なことがわかります。

だからf(x)の増減表を書くと
y=f(x)はx=cで最大値で最小値はf(0)=f(1)=0だから
0≦x≦1で
f(x)≧0
となるわけや。
これを整理していくと

log(ax+b(1-x))-xlog(a)-(1-x)log(b)≧0

log(ax+b(1-x))-log(a^x)-log(b^(1-x))≧0

log(ax+b(1-x))-log(a^x)(b^(1-x))≧0

log(ax+b(1-x))≧log(a^x)(b^(1-x))

ax+b(1-x)≧(a^x)(b^(1-x))

logに全部入れていって、logの中身を比べるねん

y=log(x)は増加関数だからlogを外しても不等号の向きは同じままやねん。

まあそんな感じですわ。


ちょっとf(x)≦f(c)を使うんちゃうか?って思えますが、途中で心が折れて違うことに気づくと思います。

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