受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

3次方程式の問題、神戸大学2009年度理系第2問の解説
もうあかん。

今日は神戸大学2009年度理系第2問の解説します。


[問題]
090404_m1.jpg
f(x)=x^3-3x+1,g(x)=x^2-2とし、方程式f(x)=0について考える。このとき、以下のことを示せ。

(1)f(x)=0は絶対値が2より小さい3つの相異なる実数解をもつ。
(2)αがf(x)=0の解ならば、g(α)もf(x)=0の解となる。
(3)f(x)=0の解を小さい順に
α_1,α_2,α_3とすれば
g(α_1)=α_3,g(α_2)=α_1,g(α_3)=α_2
となる。


[解答と解説]
(1)
090404_m2.jpg
これはいい問題ですね。

f(x)はx軸と最大で3点で交わるから
f(-2)=-1<0
f(0)=1>0
f(1)=-1<0
f(2)=3>0

だけでも-2<x<2でf(x)はx軸と異なる3点で交わることがわかるからええような気がしますが、まあ一応時間もないこと無いと思うし微分してグラフを書いて調べておいた方が安全です。

f'(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)

で増減表を書いて-2<x<2を調べるからx=-2と2も調べて
f(-2)=-1,f(-1)=3,f(1)=-1,f(2)=3
でグラフを書くとx軸と-2<x<2で異なる3点と交わることがわかるから
f(x)=0は絶対値が2より小さい3つの相異なる実数解をもつと言えます。


(2)
090404_m3.jpg

αがf(x)=0の解よりf(α)=0⇔α^3-3α+1=0でαはα^3-3α+1=0を満たす実数のことで、これを使って
g(α)がf(x)の解ということはf(g(α))=0を示したらいいわけです。

f(g(α))=(α^2-2)^3-3(α^2-1)+1
=α^6-6α^4+9α^2-1
=(α^3-3α+1)(α^3-3α-1)
=f(α)(α^3-3α-1)=0
よってg(α)もg(x)=0の解となります。

α^6-6α^4+9α^2-1はf(α)=α^3-3α+1できっと割り切れるはず、因数分解できるはずって考えてやるのがコツです。

α^3=3α-1と考えてα^6-6α^4+9α^2-1に代入していくって言う次数下げと言う方法もありますが若干うへ~ってなります。


(3)
090404_m4.jpg

α→g(α)に変換すると大きくなるのか小さくなるのか考えてみます。
だから
g(x)-x=x^2-2-x
=(x-2)(x+1)

2と-1が正負の切り替わりですがα_1,α_2,α_3はすべて2以下で(1)のグラフからα_1<-1,-1<α_2<α_3
なことがわかります。

だから
g(α_1)>α_1
g(α_2)<α_2
g(α_3)<α_3
です。
g(α_1),g(α_2),g(α_3)はα_1,α_2,α_3のどれかだから
g(α_2)<α_2
からg(α_2)はα_2より小さい解、つまりα_1しかありえないから

g(α_2)=α_1
ときまります。

次に
g(α_3)<α_3
からg(α_3)はα_3より小さい解、つまりα_1かα_2の2択です。

これをどないするんやって話しですがg(α_1),g(α_2),g(α_3)はすべてことなると言えばg(α_2)=α_1やったから
g(α_3)=α_2
といえて、残りはg(α_1)=α_3と決まります。

だからg(α_1),g(α_2),g(α_3)はすべて異なることを言えばよくて、i,jを1,2,3のいずれかとして
g(α_i)-g(α_j)=(α_i+α_j)(α_i-α_j)

でi≠jの時
α_i≠α_jは自明でα_i≠-α_jとなることを調べればええことになります。

それはαがf(x)=0の解のとき、-αは解でないと言えばオッケーです。

これは簡単で
f(-α)=-α^3+3α+1
=-(α^3-3α+1)+2
=2

で-αがf(x)=0の解になることはありません。


だからi≠jならg(α_i)≠g(α_j)、つまりg(α_1),g(α_2),g(α_3)はすべて異なるとわかります。

もっと計算的にやることもできて
f(-√3)=f(√3)=f(0)=1
より-2<α_1<-√3,0<α_2<1,1<α_3<√3
だから
1<α_1^2-2<2,-2<α_2^2-2<-1,-1<α_3^2-2<1
より
α_2^2-2<α_3^2-2<α_1^2-2
だからg(α_1)=α_3,g(α_2)=α_1,g(α_3)=α_2と言えます。
なんで±√3を調べるんか言われると困りますが、-2<α_1<0<α_2<1<α_3<2だからα_iがg(α_i)に変換されたときに1を越えるとα_3になるから、g(x)=1を考えるとx=±√3だからx=±√3より小さいかどうかを考えてるわけです。
g(x)=0の方も考えるの筋な感じですが調べなくても示せます。

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