受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

積分の問題,神戸大学2009年度理系第3問の解説
もうあかんわ。
ウツや。


神戸大学2009年度理系第3問の解説。


[問題]
090407_m1.jpg

aを0≦a<π/2の範囲にある実数とする。2つの直線x=a,x=π/2および2つの曲線y=cos(x-a),y=-cosxによって囲まれる図形をGとする。このとき、以下の問に答えよ。

(1)図形Gの面積をSとする。
Sをa用いた式で表せ。

(2)aが0≦a<π/2の範囲を動くとき、Sを最大にするようなaの値と,そのときのSの値を求めよ。

(3)図形Gをx軸の周りに1回転させてできる立体の体積をVとする。
Vをaを用いた式で表せ。


[解答と解説]
090407_m2.jpg
(1)まずはグラフを書くことから何もかもが始まって、その時から僕たちの関係は終わっていた感じなんですが、
y=cos(x-a)
のグラフはy>0です。

y=cos(x)
のグラフはy≦0で特に交わりが無くて簡単に積分できます。


だからGの面積は
S∫(0,π/2)(cos(x-a)+cos(x))dx
=[sin(x-a)+sin(x)](0,π/2)
=cos(a)+1+sin(a)

(2)Sの最大値を求めろか。

そう言われると求めたくなる気持ちはわかりますが、敢えて求めてみましょう。

合成するのがお決まりな形です。

S=cos(a)+sin(a)+1
=√2(1/√2・sin(a)+1/√2・cos(a))+1
=√2(sin(a)sin(π/4)+cos(a)cos(π/4))
=√2sin(a+π/4)+1

まあここまで合成の変型を詳しく書かなくても一発で合成出来ると思いますが、覚えるまでは筋道書いときますね。

と言うことで、sin(a+π/4)≦1で0≦a<π/2ではa=π/4でsin(a+π/4)=sin(π/2)=1だから 最大値はa=π/4のとき√2+1をとる。

(3)
090407_m3.jpg

x軸の周りに回転させるってことやから、図形Gの上側の周と下側の周でx軸からの距離が最大になるところを回転させるわけやから(1)のグラフを考えると

x軸から上側の周の距離は|cos(x-a)|=cos(x-a)

x軸から下側の周の距離は|-cos(x)|=cos(x)



|cos(x-a)|-|-cos(x)|=cos(x-a)-cos(x)
=-sin(x-a/2)sin(-a/2)
=sin(x-a/2)sin(a/2)

と言うように和から積への公式を使って

0≦x<a/2の時,|cos(x-a)|<|-cos(x)|
x=a/2の時,|cos(x-a)|=-cos(x)
a/2<x≦π/2の時、|cos(x-a)|>|-cos(x)|

だから

V=π(∫(0,a/2)(-cos(x))^2dx+∫(a/2,π/2)(cos(x-a))^2dx)

って式がたてられます。

でもこれは少しちょっと血迷ったところも無くも無くて、cos(x-a)はcos(x)をx軸正方向に+a平行移動したものでcosのグラフの性質から交点は0とaの中点のa/2とかグラフの意味を考えると和から積への公式とか使わなくても大小関係がよくわかります。

090407_m4.jpg

計算していくと
V=π(∫(0,a/2)(1+cos(2x))/2)dx+∫(a/2,π/2)(1+cos(2(x-a)))/2dx)
=π([x/2+sin(2x)/4](0,a/2)+[x/2+sin(2(x-a))/4](a/2,π/2))
=π(a/4+sin(a)/4+π/4+sin(2a)/4-a/4+sin(a)/4)
=π/4・(π+2sin(a)+sin(2a))

で終わりました。
何もかも終わった。

高校数学の入試問題などの解説

神戸大学の入試の数学の過去問の解説




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