受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

確率の問題、神戸大学2009年度理系第4問の解説
今日はサイコロとサイコロが出会っちゃった問題です。


神戸大学2009年度理系の第4問の解説
[問題]
090408_m1.jpg
大大小2つのサイコロを同時に1枚投げて、大きいサイコロの出た目の数A,および小さいサイコロの出た目の数Bに応じて得点を競うゲームを考える。ただし、このゲームには6種類の得点X_n(1≦n≦6)があって、それぞれ、次の規則で定められているとする:

X_n=
A(A≧nのとき)
B(A<nかつA≠Bのとき)
aA+b(A<nかつA=Bのとき)

ここで,a,bは実数の定数である。また、得点X_nの期待値をE_nとする。このとき,以下の問に答えよ。

(1)A,Bのとり得る値に対する得点X_3およびX_4の値を、答案用紙の表にそれぞれ記入せよ。
090408_m2.jpg

(2)E_4-E_3を求めよ。

(3)E_1=E_2=…=E_6となるようなa,bはあるか。あれば求めよ。なければ、そのことを示せ。


[解答と解説]
(1)
090408_m3.jpg
X_3はA≧3の欄は全部、その行のAと同じ値で
A=Bのとこは左上からa+b,2a+bとやって残りは全部その列のBと同じ値です。

X_4はA≧4の欄は全部、その行のAと同じ値で
A=Bのとこは左上からa+b,2a+b,3a+bとやって残りは全部その列のBと同じ値です。

まあここはあんまりうへ~ってなるところちゃいますが、実際に調べて表を書いてみるとかが問題の解決につながるってことを覚えといてください。
まあこの問題はでは(1)で誘導してくれてるってことやな。

090408_m4.jpg

(2)E_4とE_3の差を求めたい気持ちはわかりますが、その気持ちは忘れないようにしてください。

はよ解説せい!って話やなこれ。


(1)のX_3とX_4の表を見ると、違うのはA=3の行だけです。

だからE_4-E_3は他は相殺されてAの行の差だけ考えればええことになります。

よってサイコロの目の出方は6×6=36だから
E_4-E_3=(3a+b+1+2+4+5+6-3×6)/36
=(3a+b)/36

(3),(1)は(2)のヒント、(1)や(2)は(3)のヒントに普通はなってるねんけど、E_4-E_3をもとめさせられたってことは同じようにして一般的に1≦k≦5となる整数kに対してE_(k+1)-E_kが求められそうです。

それが求まればすべてのkでE_(k+1)-E_k=0となるa,bが存在すればE_2-E_1=0,E_3-E_2=0,E_4-E_3=0,E_5-E_4=0,E_6-E_5=0つまりE_1=E_2=E_3=E_4=E_5=E_6が示せます。

(1)(2)と同じように考えるとX_(k+1)とX_kではA=kの行だけ値が違うかって、

E_4-E_3=(3a+b+1+2+4+5+6-3×6)/36

の式からE_(k+1)-E_kを類推すると

3a+b→ka+b
1+2+4+5+6→1+2+3+4+5+6-k
3×6→k×6

と置き換えたらいいから

E_(k+1)-E_k=(ka+b+1+2+3+4+5+6-k-6k)/36
={(a-7)k+21+b}/36

これは1≦k≦5となる全てのkで0になるにはkの係数と定数を考えて

a-7=0
21+b=0

a=7
b=-21

の時です。


この時、たしかにE_2-E_1=0,E_3-E_2=0,E_4-E_3=0,E_5-E_4=0,E_6-E_5=0だから
E_1=E_2=E_3=E_4=E_5=E_6と示せました。


ふにゅふにゅ。

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