受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

二次関数の問題、神戸大学2009年度文系第2問の解説
ひゃっほ~い。

このちょっと引くようなテンションでいくか。

神戸大学2009年度文系第2問の解説


[問題]
090412_m8.jpg

aを正の実数とし、f(x)=-a^2x^2+4axとする。このとき、以下の問に答えよ。
(1)0≦x≦3におけるf(x)の最大値を求めよ。

(2)2点A(2,3),B(3,3)を端点つる線分をlとする。曲線y=f(x)と線分l(端点を含む)が共有点を持つようなaの値の範囲を求め、数直線上に図示せよ。


[解答と解説]
(1)
090412_m9.jpg

二次関数やからこれはもう平方完成する以外に道がありません。
まあそんなこと言うと微分もあるってしばかれそうやけどな。

f(x)=-a^2(x-2/a)^2+4

これで軸はx=2/aで0≦x≦3での最大値を求めろってことやから、よくあるパラメーターの値によって場合分けする問題になります。
xの二次の係数は負の時の最大値は、頂点か端点になります。

軸が定義域の左側、定義域の中、定義域の右側の三つを考えなければあかんけど、ただaは正だから定義域の左側はありえないから調べなくてもオッケーなことがわかります。

(i)0<2/a≦3つまり2/3≦aの時、頂点で最大になるから最大値は4
グラフを横にそえたってください。

(ii)3≦2/aつまりa≦2/3の時、右側の端点のx=3で最大になるから最大値はf(3)=-9a^2+12a

(i)(ii)より最大値あ
-9a^2*12a(0<a≦2/3)
4(2/3≦a)

こうやってaの関数みたいに書くのが便利かな。

(2)

090412_m3.jpg

A,Bの座標をよく見るとどっちもy座標が3です。
と言うことは、y=3(2≦x≦3)とy=f(x)が交点を持つようなaを求めればええから、f(x)とlをy軸負の方向に3平行移動させて
g(x)=f(x)-3,y=0(2≦x≦3)
の共有点を持つようなaを求めるのと同じだから、二次関数の解の配置の問題になります。

判別式調べて軸を調べてg(0)とg(3)調べて、うへ~ってなってても血吐くくらいで別に命には別状ないしオッケーなんですが、この問題ではそこまでややこしいことをやらなくてもy=3とy=f(x)の交点は簡単に求まるように出来てて
f(x)=3とすると
-a^2x^2+4ax=3

a^2x^2-4ax+3=0

(ax-3)(ax-1)=0

より交点のx座標がx=3/a,1/aとわかります。

だからこれが少なくともどっちかが2≦x≦3の範囲にあれば良いから

2≦1/a≦3または2≦3/a≦3

1/3≦a≦1/2または1≦a≦3/2

でこれを数直線上に書けばオッケーです。

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