受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

整数問題、一橋大学2009年度の第1問の解説
今日は並ランチを食べてきた。
そんな並なオレでもついてきてくれるか?


一橋大学2009年度の第1問の解説します。

[問題]
090414_m1.jpg

2以上の整数m,nはm^3+1^3=n^3+10^3をみたす。m,nを求めよ。


[解答と解説]
090414_m2.jpg

まさに一橋大学の整数問題がきた!って感じやな。

どうすればええか難しいところやけど、やっぱり左に文字を集めてみて、右に数だけにして因数分解出来ないか?って考えてみます。

そしたら、一緒にやってみよか。

m^3+1^3=n^3+10^3

m^3-n^3=999

(m-n)(m^2+mn+n^2)=999

とりあえずm-n>0⇔m>nはわかりました。

999=3・3・3・37

m,nは2以上だから
m^2+mn+n^2≧4+4+4=12

より
(m-n,m^2+mn+n^2)=(1,999),(3,333),(9,111),(27,37),(37,27)
としぼられますが、ちょっとこれでは血吐くまではいかんけど痰くらいは吐きそうな感じや。


だからとりあえずm^3-n^3にはもう一つの変型があったのでそれを使ってみます。

m^3-n^3=(m-n)^3+3mn(m-n)

を使うと

(m-n)^3+3mn(m-n)=999…(1)

(m-n)^3=3{333-mn(m-n)}

だからm-nは3の倍数でkを自然数として

m-n=3k

とおけて(1)に代入して

k(27k^2+9mn)=999

k(3k^2+mn)=111

で3k^2+mn≧3+4=7
だから

(k,3k^2mn)=(1,111)(3,37)

とかなりしぼれます

090414_m3.jpg

(i)k=1の時
m=3+n
で(1)に代入して

3+n^2+3n=111

(n+12)(n-9)=0
n=9でm=12

まあ3k^2+mn=111に代入してもええねんけどな。

(ii)k=3の時
m=9+n
で(1)に代入して

27+n^2+9n=37

(n+10)(n-1)=0
解なし
(i)(ii)から(m,n)=(12,9)

で答えが決まりました。


まあでも普通は(m-n)^3+3mn(m-n)とやるより(m-n)(m^2+mn+n^2)と因数分解して解くことが多いので(m-n)(m^2+mn+n^2)で出来ないか考えるとしらみつぶしに

(m-n,m^2+mn+n^2)=(1,999),(3,333),(9,111),(27,37),(37,27)

を実際に解いていくとm-n≧9はあかん、全然あかんってことがわかるけどな。

nは2以上だから
m-n≧9とするとm≧9+n≧11

より
m^2+mn+n^2>121

だから
(m-n,m^2+mn+n^2)=(9,111),(27,37),(37,27)
は不適なので

m-n=1,3

ってしぼれるねん。


こうやって色々なやり方を経験していったってください。

一橋大学の入試の数学の過去問の解説

高校数学の入試問題などの解説

整数問題の解法の解説と問題演習




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