受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

円と放物線の問題、一橋大学2009年度第3問の解説
晩御飯を食べても何かもの足りない時に数学をやるのがコツや。


一橋大学2009年度の第3問の解説

[問題]
090417_m1.jpg
p,qを実数とする。放物線y=x^2-2px+qが、中心(p,2q)で半径1の円と中心(p,p)で半径1の円の両方と共有点をもつ。この放物線の頂点が存在しうる領域をxy平面上に図示せよ。



[解答と解説]
090417_m2.jpg

放物線の頂点の存在しうる領域ってことやから平方完成をしてみたら
y=x^2-2px+q=(x-p)^2-p^2+q
で頂点が(p,-p^2+q)ってなってます。

と言うことは放物線の頂点も二つの円の中心もどっちもx=p上にあるわけやん。

だから、x方向に-p平行移動させて

放物線y=x^2-p^2+q

x^2+(y-p)^2=1

x^2+(y-2q)^2=1
の両方と共有点をもつp,qの条件を考えても一緒なわけや。

数学的に言うと同値なわけやな。


別に平行移動せんでもええかもしれんけどそのまま計算してたら、うへ~って消しゴムを隣の受験生におもいっきり投げつけることになります。


ただ二回同じような計算してたら、ちょっとあれやから

y=x^2-p^2+q

x^2+(x-a)^2=1
aは実数

が共有点をもつようなp,qの条件をaであらわしてa=p,2qって代入したら解答がちょっとすっきりすると思うねん。

まずy消去して

x^2+(x^2-p^2+q-a)^2=1

x^4+(-2p^2+2q-2a+1)x^2+(-p^2+q-a)^2-1=0

これが解を持つことを考えたらよかって、xが決まれば①のy=x^2-p^2+qからyも決まるからxの方程式だけ考えたらオッケーってことなります。

まあこういう4次方程式が解を持つ条件は、決まったやり方があって

t^2+(-2p^2+2q-2a+1)x^2+(-p^2+q-a)^2-1=0

がt≧0で解を持つ条件を考えたらええねん。

そうしたらx^2=tでxが解を持つことと同じやからな。

090417_m3.jpg

だからこっからは、もう二次方程式の解の配置の問題なわけや。
f(t)=t^2+(-2p^2+2q-2a+1)x^2+(-p^2+q-a)^2-1
とおいて、判別式をDとすると
D=(-2p^2+2q-2a+1)^2-4{(-p^2+q-a)^2-1}≧0

-p^2+q-a≧-5/4

で0≦tとt≦0に解を持つ場合と

t≧0だけに解を持つ場合の二つに分けて

(i)f(0)≦0の時
f(0)≦0⇔(-p^2+q-a)^2-1≦0
⇔-1≦-p^2+q-a≦1

(ii)f(0)≧0,-(-2p^2+2q-2a+1)/2≧0の時
f(0)≧0
-(-2p^2+2q-2a+1)/2≧0

-p^2+q-a≦-1

(i)(ii)から
-p^2+q-a≦1
で-p^2+q-a≧-5/4とあわせて
-5/4≦-p^2+q-a≦1

090417_m4.jpg

a=pの時は
-5/4≦-p^2+q-p≦1
a=2qの時は
-5/4≦-p^2+q-2q≦1

後はこれを頂点で表したらよくて、頂点(X,Y)とおくと
y=x^2-2px+q=(x-p)^2-p^2+q
からX=p,Y=-p^2+qやったから

p=X,q=Y+X^2で

-5/4≦-p^2+q-p≦1
-5/4≦-p^2+q-2q≦1

-5/4+X≦Y≦1+X
-2X^2-1≦Y≦2X^2+5/4

それでこれを図示たらもう完璧や。

さすが、みんなよく出来てるな。

お兄ちゃん嬉しいわ。

一橋大学の入試の数学の過去問の解説

高校数学の入試問題などの解説




テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

▲ページトップへ
この記事に対するトラックバック
トラックバックURL
→http://kazuschool.blog94.fc2.com/tb.php/274-570f773d
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
▲ページトップへ
プロフィール

Author:わんこら
京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。
東京で数学と物理の講師やってます

わんこら日記で日記とか勉強の仕方とか書いています

わんこら式数学の勉強法

メール
迷惑メールにされる危険性があるので出来るだけ
kazuyuki_ht○guitar.ocn.ne.jp
(○を@にしてください)に送ってください
勉強とかでどんな悩み持ってるかなど色々と教えてくれると嬉しいです。
わんこら式のやり方についてのメールはわんこら式診断プログラムを参考にしてください

詳しいプロフィール

人気blogランキングへ



にほんブログ村 受験ブログへ



学生広場

相互リンクも募集してます。

何かあれば
kazuschool_ht★yahoo.co.jp
かメールフォームからメールください。
(★を@にしてください)

カテゴリー

メールフォーム

名前:
メール:
件名:
本文:

FC2カウンター

リンク

このブログをリンクに追加する

お勧めの参考書、ノート

数学でお勧めのノートは
KOKUYOの無地
理由




センター試験は過去問が大切


チャートが終わったらお勧め
大学への数学1対1シリーズ
数学1


数学A


数学2


数学B


数学3


数学C

月別アーカイブ

ブログ内検索

RSSフィード

最近のトラックバック

ブロとも申請フォーム

この人とブロともになる

  1. 無料アクセス解析