受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

ベクトルの問題、一橋大学2009年度第4問の解説
あ、消しゴム忘れた。

嘘やって。


一橋大学2009年度第4問の解説を書きます。

[問題]
090418_m1.jpg

一辺の長さが2の正三角形ABCを平面上におく。△ABCを1つの辺に関して180°折り返すという操作を繰り返しすという操作を繰り返し行う。辺BCに関する折り返しをT_A,辺CAに関する折り返しをT_B,辺ABに関する折り返しをT_Cとする。△ABCは、最初3点A,B,Cがそれぞれ平面上の3点O,B',C'の上に置かれているとする。

(1)T_A,T_C,T_B,T_C,T_Aの順に折り返し操作を施したときの頂点Aの移り先をPとする。また、T_A,T_C,T_B,T_A,T_C,T_B,T_Aの順に折り返し操作を施したときの頂点Aの移り先をQとする。θ=∠POQとするとき、cosθの値を求めよ。

(2)整数k,lに対して,OR→=3kOB'→+3lOC'→により定められる点Rは、T_A,T_B,T_Cの折り返し操作を組み合わせることにより、点Aの移り先になることを示せ。



[解答と解説]

この問題はクルクルです。

090418_m2.jpg

一緒にクルクルするのがコツです。

考えるんじゃなくて、まずはクルクル折り返して絵を書いていくことで問題が理解出来て解法の筋道が見えてくるもんやねん。

どの問題にも言えることやねんけどな。

(1)
090418_m3.jpg

T_A,T_C,T_B,T_C,T_Aって△ABCをクルクルと折り返して図を書いていきます。

次に
T_A,T_C,T_B,T_A,T_C,T_B,T_Aって△ABCをクルクルと折り返して図を書いていきます。


そしたらPQの長さは正三角形の高さ二つ分の長さやから
正三角形一つの高さは2sin60°=√3で
PQ=2√3
とわかりました。

OPは横に正三角形3個分の6、縦に正三角形の高さ2個分の2√3で三平方の定理から
OP=√(36+12)=4√3
って出すか、もっと正三角形の高さ4つ分やから4√2ってやった方が早くええかもしれんな。

OQは横に正三角形3個分の6、縦に正三角形の高さ4個分の4√3で三平方の定理から
OQ=√(36+48)=2√21

これで余弦定理から

cosθ=(48+84-12)/(2・4√4・2√21)
=(5√7)/14

って上手に出来ました。

(2)

090418_m4.jpg

実際にどういう操作をしたら
OR→=3kOB'→+3lOC'→
って移り変わるか書くと簡単に示しやすいです。

OB'→とOC'は一次独立やから別々に考えたらよかって、まず3OB'→平行移動移動させることを考えてみます。

まあ上の方に折り返していくだけやから絵をクルクル書いていって

T_A,T_C,T_B,T_A,T_C,T_B…(*)

って折り返せば△ABCが3OB'→平行移動したことになります。

点Aだけ3OB'→平行移動なら

T_A,T_C,T_B,T_A

だけでもええことになるけど、3kOB'→平行移動させるってなったらなんか書き方がややこしいことになるねんな。

だから

T_A,T_C,T_B,T_A,T_C,T_B

って折り返せば△ABCが3OB'→平行移動するからk回この操作を繰り返せば△ABCは3kOB'→平行移動するって簡単に書けるねん。


同じように3OC'→平行移動させることを考えると、横の方に折り返していくだけやからまたお兄さんと一緒に絵をクルクル回転させて

T_A,T_B,T_C,T_A,T_B,T_C…(**)

って折り返せば△ABCが3OC'→平行移動するからl回この操作を繰り返せば△ABCは3lOC'→平行移動します。

だから操作(*)をk回、操作(**)をl回繰り返したら点Aは点Rに移る。


こうやって、クルクル絵を書いて絵で答えるのがコツやねん。


そうすれば、もう中学生みたいなレベルで解けるし数学者は
図を書いたら終わりやろ
が口ぐせやから採点する側もごちゃごちゃ文章書かれるより見ればわかるから高評価やねん。

一橋大学の入試の数学の過去問の解説

高校数学の入試問題などの解説




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