受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

慶應大学2009年度理工学部のA1の解説
なんかオレ思うねんけど、トラックって実はよく見たら車やな。


慶應大学2009年度理工学部のA1の解説

[問題]
(1)平面上において点Oを中心とする半径rの円を考える。この円の外部にある点Aからこの円に引いた2本の接線のなす角度がπ/6であるとき、r/OAの値は(ア)である。

(2)xy平面上で放物線C:y=x(5/2 - x)と直線l:x-2y=0が囲む図形の面積は(イ)である。放物線Cと直線lとの2つの交点をA,Bとする。点Pが放物線C上をAからBまで動くとき,三角形APBの面積が最大となるのは点PがP_0((ウ),(エ))のときである。点P_0から直線lにおろした垂線をP_0Hとすると、Hの座標は((オ),(カ))である。

(3)xy平面上において曲線y=e^xおよび3つの直線x=0,x=1,y=0により囲まれる図形をKとする。図形Kをx軸のまわりに回転してできる立体の体積は(キ)であり、図形Kをy軸のまわりに回転してできる立体の体積は(ク)である。


[解答と解説]
(1)
090423_m1.jpg

2本の接線のなす角度がπ/6が、セコいことになす角度は2つあります。

円が挟まれてる側の角度がπ/6

円が挟まれてる側の隣の角度がπ/6

これが解答速報とか見たときに人をウツにさせるねん。


円が挟まれてる側の角度がπ/6の時はr/OAは一つの接点をTとすると∠OAT=π/12で△OATは∠ATO=π/2の直角三角形だから
r/OA=sin(π/12)
になります。
これの求め方は半角の公式から

sin(π/12)=√((1-cos(π/6))/2)

でも求めらますが、π/12=π/3-π/4から加法定理を使うのが二重根号にもならないし簡単で

sin(π/12)=sin(π/3-π/4)
=sin(π/3)cos(π/4)-cos(π/3)sin(π/4)
=(√6 - √2)/4


円が挟まれてる側の横の角度がπ/6の時は円が挟まれてる側の角がπ/6でr/OAは一つの接点をTとすると∠OAT=π5/12で△OATは∠ATO=π/2の直角三角形だから
r/OA=sin(5π/12)
になります。
これも5π/12=5π/3-5π/4から加法定理を使うのが二重根号にもならないし簡単で

sin(5π/12)=sin(5π/3-5π/4)
=sin(5π/3)cos(5π/4)-cos(5π/3)sin(π/4)
=(√6 + √2)/4

(2)
090423_m2.jpg

放物線Cと直線l(y=x/2)に囲まれてる部分の面積は

x(5/2 - x) - x/2
=-x(x-2)

だから0~2まで積分したら、よくて∫(α,β)(x-α)(x-β)dx=(β-α)^3/6の公式から

-∫(0,2)x(x-2)dx=2^3/6
=4/3

△APBの面積が最大になるのはP(p,p(5/2 - p))とおいて点と直線lまでの距離を考えても出来るには出来るんですが、普通は点Pにおける接線が直線lに平行になるような点Pが直線lとの距離が最大になるって言うのを使います。

まずは微分しなあかんから

{x(5/2 - x)}'=-2x+5/2

で点Pのx座標をtとおくと、点Pにおける接線の傾きが直線lの傾き1/2になるには

-2t+5/2=1/2

これからt=1で点P_0(1,3/2)

とわかりました。



090423_m3.jpg

後は点P_0から直線lにおろした垂線をP_0HとしてHの座標を求めろってことですが、

まあこれはあれやな…


ええからはよ説明せい!って話しやな。

直線P_0H⊥直線lとなるには

(直線P_OHの傾き)×(直線l)=-1

を使って、

(直線P_OHの傾き)×1/2=-1

直線P_0Hの傾き=-2

だから直線P_OHは傾き-2で点_0(1,3/2)を通る直線だから

y=-2(x-1)+3/2
=-2x+7/2

これで直線l:y=x/2との交点を求めて

(7/5,7/10)

とやるか、

またはH(h,h/2)とおいて
(直線P_OHの傾き)=(h/2 - 3/2)/(h-1)

だから
(h/2 - 3/2)/(h-1)=-2

とかして求めるかやな。


(3)
090423_m4.jpg

x軸の周りに回転の体積は、もう普通に公式のままで

π∫(0,1)(e^x)^2dx
=π∫(0,1)e^(2x)dx
=π[(e^2x)/2](0,1)
=π(e^2-1)/2

これはええねんけど、y軸の周りに回転させるのはちょっと工夫が必要やねん。

図形的に

高さe半径1の円柱 - π∫(1,e)x^2dy

って円柱から回転体を引いて考えて

πe - ∫(1,e)(logy)^2dy

logy×logyは部分積分でlogyを積分してもう一つのlogyを微分して

=πe - [(ylogy-y)logy](1,e)+∫(1,e)(logy-1)dy
=πe-0+[ylogy-2y](1,e)
=2π


∫(1,e)(logy)^2dyは
y=e^x
dy=e^xdx
で置換して

π∫(0,1)x^2e^xdy=π[x^2e^x](0,1)-π∫(0,1)2xe^xdx
=πe-π[2xe^x](0,1)+π∫(0,1)2e^xdx
=-eπ+π[2e^x](0,1)
=πe-2π

ってやる方法もまた選択肢に入れたってくれ。

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