受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

確率の漸化式で解く問題、慶應大学理工学部2009年度の問題A2の解説
そしたら今日も数学しまくって、横のおっさんにしばかれよか。


慶應大学2009年度理工学部のA2の解説

[問題]
さいころを投げるという試行を繰り返し行う。ただし、2回連続して5以上の目が出た場合は、それ以降の試行は行わないものとする。
n回目の試行が行われ、かつn回目に出た目が4以下になる確率をp_nとする。このとき、p_1=2/3,p_2=(ケ),p_3=(コ)である。またp_0=1とおく。n≧0に対して、p_n,p_(n+1),p_(n+2)の間に成立する関係式を求め、それをp_(n+2)-βp_(n+1)=α(p_(n+1)-βp_n)(α>β)の形に書くとα=(サ)である。よって、p_n=(√3)/2・(シ)となる。
また,n回目の試行が行わわ、かつn回目に出た目が5以上になる確率をq_nとする。このときq_1=1/3である。n≧2とするとき、q_nとp_(n-1),p_(n-2)の間にはq_n=(ス)なる関係式が成り立つ。したがって、5以上の目が出る回数の期待値はΣ(n=1~∞)q_n=(セ)である。


[解答と解説]
090424_m1.jpg

p_2とp_3ってまず具体的に求めろってことを相手は要求してきました。
そこでどうするかや。

どうするか言うたら求めるわけや。

4以下を○、5以上を×と書くと
1回の操作で4以下になる確率は4/6=2/3で
5以上になる確率は2/6=1/3で

2回目の試行が行われ、かつ2回目が○になるのは
○○の2/3×2/3=4/9

×○の1/3×2/3=2/9

p_2=4/9+2/9=6/9=2/3


p_3は
3回目の試行が行われ、かつ3回目が○になるのは
○○○の2/3×2/3×2/3

×○○の1/3×2/3×2/3

○×○の2/3×1/3×2/3

p_3=2/3×2/3×2/3+1/3×2/3×2/3+2/3×1/3×2/3
=16/27


n+2回目はこの3回目を求めるのがヒントになっていて、
…×○
…○○
の二つの終わり方があるわけやねん。

それで
…×○
の方は×のひとつ前は○のはずで、それはn回目の試行が行われ、かつn回目の○だから
p_n×1/3×2/3=2p_n/9

…○○
の方は単にn+1回目の試行が行われ、かつn+1回目が○でn+2回目が○で
p_(n+1)×2/3=2p_(n+1)/3

よって
p_(n*2)=2p_n/9+2p_(n+1)/3


n+2は、nやn+1との関係を見るわけやな。
こういう漸化式を使った確率の求め方の典型的問題やから、この解き方は覚えておいたらええかな。

090424_m2.jpg

αとβは、この漸化式を解く時の特性方程式の解だから

x^2=2/9+2x/3

9x^2-6x-2=0

これを解いて
x=(1±√3)/3

でα=(1+√3)/3

後はp_nを求めたらよくて、

p_(n+2)-βp_(n+1)=α(p_(n+1)-βp_n)

は数列{p_(n+1)-βp_n}が公比αの等比数列で

p_(n+1)-βp_n=α^(n-1)・(p_2-βp_1)


p_(n+2)-αp_(n+1)=β(p_(n+1)-αp_n)

も成り立つから

p_(n+1)-αp_n=β^(n-1)・(p_2-αp_1)

で2式からp_(n+1)を消去するか、またはA,Bを定数として

p_n=Aα^n+Bβ^n

と置けて、p_0=1,p_1=2/3から連立してA,Bを求めるかすると、結構ややこしいですが

p_n=(√3)/2・{((√3+1)/3)^(n+1)-((1-√3)/3)^(n+1)}

って求まりました。

はい、いいですね。

090424_m3.jpg

次はn回目の試行が行われ、n回目が5以上の確率q_nの甘くて切ないおはなしですが、

同様にして

…××

…○×
の二つがあるから、

…××は××の直前は○だから、これはn-2回目の試行が行われ、n-2回目が○のときで

p_(n-2)×1/3×1/3

…○×はn-1回目の試行が行われ、n-1回目が○でn回目が×で

p_(n-1)×1/3

よって

q_n=p_(n-1)/3+p_(n-2)/9


こうやってn回目はn-1回目とn-2回目の関係を見るのが漸化式をたてるコツです。

それでこれでq_nを求めようとしていたら

Σ(n=1~∞)q_n

を求めろって相手は要求してきます。


これが5以上の目が出る回数の期待値らしいです。
まず意味は考えずに計算だけ求めましょう。

勝負はきれい事言うとかれへんからな。

Σ(n=1~∞)q_n=q_1+1/3Σ(n=1~∞)p_n+1/9Σ(n=0~∞)p_n
とりあえずどっちもn=0~∞までの和にしておいて
=1/3+(1/3+1/9)Σ(n=1~∞)p_n-1/3
=4/9・(√3)/2・{((√3+1)/3)/(1-((√3+1)/3))-((1-√3)/3)/(1-((1-√3)/3)}
=2(√3)/9{(√3+1)(2+√3)-(1-√3)(2-√3)}
=4

|r|<1とすると
Σ(n=1~∞)ar^(n-1)=a/(1-r)を使ってます。


これでもう大丈夫大丈夫。


ただちょっと気になるんが、なんでこれが5以上の目が出る回数の期待値なんかわかりにくいかもしれん。
それは、とりあえず試行が終わるまでやり続けた時に5以上が出る回数のことで

1回目に5以上が出る期待値は1×q_1

最大で2回ふるまでに5以上が出る期待値は1×q_1+1×q_2



最大でn回目ふるまでに5以上が出る期待値は1×q_1+1×q_2+…+1×q_n


こんな説明でわかるんかこれ。

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