受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

東大、四面体ABCDの各辺はそれぞれ確率pで電気を通すものとする。頂点AからBに電流が流れる確率を求めよ。の続き
前回の問題の話の続きで工夫した解答を考えてみました。

[問題]pを0<p<1を満たす実数とする。
(1)四面体ABCDの各辺はそれぞれ確率pで電気を通すものとする。
このとき、頂点AからBに電流が流れる確率を求めよ。
ただし、各辺が電流を通すか通さないかは独立で、辺以外は電流を通さないものとする。



[解答・解説]
080519_1.jpg

四面体の辺の結び目とかの構造は上図のようにAとBを頂点とするダイヤ型とそのAとBに横から長い紐で結んだ構造と同じです。

ダイヤ型を経由してAからBへ電流が通る事象をX
右の長い紐を電流が通る事象をY
とすると求める確率は

P(Y)+P(X∩Y~)=p+(1-p)P(X)
(Y~はYの余事象)

で事象Xは
①または②どちらかを少なくも通る事象X1と
右を通って間を通って左を通る事象X2と
左を通って間を通って右を通る事象X3
の三つにわけられてこれられは全て排反事象であるから
P(X)=P(X1∪X2∪X3)
=P(X1)+P(X2)+P(X3)

まずX1ですが、①を電流が流れる確率はp^2だから、反対に流れないのはその余事象を考えて1-p^2で、
①と②両方とも流れない確率はP(X1~)=(1-p^2)^2よって余事象を考えてX1の確率は
P(X1)=1-P(X1~)=1-(1-p^2)^2

また

P(X2)=P(X3)=(1-p)^3p^3

よって
P=p+(1-p)(P(X1)+P(X2)+P(X3))
=p+(1-p){1-(1-p^2)^2+2(1-p)^3p^3}
=-2p^6+7p^5-7p^4+2p^2+p


こうやると、なんでそんなにややこしいことしてたのかって思いますね。


高校数学の問題と解説

東京大学の入試の数学の過去問の解説




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